3 Fundamentación Teórica y Formulación Matemática del Modelo

3.1 Introducción al problema integrado de localización e inventario

3.1.1 Relevancia en logística humanitaria y gestión de emergencias

La logística humanitaria desempeña un papel fundamental en la respuesta a desastres, al coordinar la disponibilidad, distribución y acceso equitativo a bienes esenciales en entornos caracterizados por alta incertidumbre, infraestructura comprometida y recursos limitados (Balcik & Beamon, 2008; Caunhye et al., 2012). A diferencia de los sistemas logísticos comerciales —donde predominan criterios de eficiencia económica—, los contextos humanitarios priorizan objetivos de rapidez, cobertura universal y mitigación del riesgo, lo que exige modelos matemáticos capaces de integrar decisiones estratégicas y tácticas bajo condiciones de información imperfecta.

En este marco, el problema integrado de localización e inventario se ha consolidado como una herramienta clave para la planificación anticipada, ya que permite determinar, de manera conjunta:

La ubicación óptima de almacenes de preposicionamiento, y
Los niveles de inventario que deben almacenarse antes de la ocurrencia de un evento disruptivo.

Ambas decisiones condicionan el desempeño global del sistema en términos de costo total, robustez operativa y equidad en la atención (Vanajakum & Kachitvichyanukul, 2023). Su naturaleza híbrida —estratégica (ubicación) y táctica (inventario)— impone desafíos estructurales que no pueden abordarse mediante enfoques secuenciales o modelos clásicos aislados.

Aunque la demanda en estos escenarios es inherentemente incierta, en este trabajo se adopta un enfoque determinista robusto, ampliamente fundamentado en la teoría de inventarios bajo demanda aleatoria (Hadley & Whitin, 1963). Este enfoque no modela la incertidumbre mediante variables aleatorias ni formulaciones estocásticas, sino que la incorpora de forma paramétrica mediante un stock de seguridad fijo, derivado de estimaciones de la variabilidad de la demanda.

Específicamente, se asume que la demanda en cada zona $j\in\mathcal{J}$ posee un valor esperado $d_j>0$ y una desviación estándar $\sigma_j\geq0$, ambos tratados como parámetros exógenos conocidos. Dado un tiempo de reposición $L>0$ y un nivel de servicio objetivo $\alpha\in(0,1)$, se define el factor de seguridad como $Z=\Phi^{-1}(\alpha)$, donde $\Phi^{-1}$ denota la inversa de la función de distribución acumulada de la normal estándar. Aunque esta construcción tiene raíces probabilísticas, en el modelo propuesto todos los elementos son deterministas, y el término $Z\sigma\sqrt{L}$ se incorpora como un parámetro de ajuste que refleja la magnitud de la incertidumbre.

Este enfoque permite formular un modelo de optimización no lineal determinista, cuya estructura matemática se preserva intacta frente a la complejidad computacional inherente a los modelos estocásticos. La ausencia de esperanzas, escenarios o variables de segundo nivel garantiza trazabilidad analítica, estabilidad numérica y compatibilidad con métodos de optimización eficientes para problemas con cotas, como se discutirá en capítulos posteriores.

3.1.2 Limitaciones de los enfoques clásicos bajo incertidumbre y no linealidad

Los modelos clásicos de localización e inventario —como el problema de localización sin capacidades (UFLP), el modelo de lote económico (EOQ) o sus variantes deterministas— han sido ampliamente estudiados bajo el supuesto de información perfecta y estructura lineal, un enfoque cuya pertinencia disminuye notablemente en escenarios humanitarios caracterizados por incertidumbre estructural y no linealidad inherente en costos y restricciones (Hadley & Whitin, 1963; Snyder, 2006).

3.1.2.1 Supuestos restrictivos del modelo EOQ clásico

El modelo EOQ se fundamenta en supuestos como:

Demanda constante y conocida $D>0$.
Tiempo de entrega determinista $L \geq 0$.
Costos lineales: costo de pedido $S$, costo unitario de mantenimiento $H$, sin faltantes.
Reposición instantánea y sin restricciones de capacidad (Hadley & Whitin, 1963).

El costo total del modelo es:

\[ Z^{EOQ}(Q)=\frac{D}{Q}S+\frac{Q}{2}H+DC, \]

y su solución óptima clásica:

\[ Q^{EOQ}=\sqrt{\frac{2DS}{H}}. \]

Este resultado depende de la deterministicidad y la convexidad estricta. Sin embargo, en logística humanitaria:

La demanda es aleatoria $D(\omega)$.
$L$ es incierto debido a afectaciones en infraestructura.
Los faltantes deben modelarse mediante una penalización finita $\beta>0$.
Los costos pueden presentar economías de escala y no convexidades (Porteus, 2002).

3.1.2.2 Incapacidad del EOQ para capturar riesgo

Si la demanda durante el tiempo de entrega es $D_L\sim\mathcal{N}(\mu_L,\sigma_L^2)$, el inventario de seguridad requiere:

\[ \mathbb{P}(D_L\leq Q/2 + Z_\alpha\sigma_L)\geq \alpha. \]

Con ello, la función de costo extendida se vuelve:

\[ Z(Q)=\frac{D}{Q}S+\left(\frac{Q}{2}+Z_\alpha\sigma_L\right)H+DC+\frac{D}{Q}\beta C. \tag{2.1} \]

Esta función no es convexa globalmente cuando $\sigma_L$ depende de $Q$, como ocurre cuando existe congestión en transporte o variabilidad dependiente del tamaño del pedido (Bertsimas & Thiele, 2006; Shapiro et al., 2021).

Proposición (No linealidad estricta).
La función $Z(Q)$ definida en (2.1) es diferenciable en $(0,\infty)$, pero no es convexa globalmente si $\beta>0$ y $\sigma_L>0$.
Si $\sigma_L$ es constante: \[ \frac{d^2 Z}{dQ^2}=\frac{2D(S+\beta C)}{Q^3}>0. \] Pero si $\sigma_L=\sigma\sqrt{L(Q)}$ y $L(Q)$ es no lineal, entonces $Z(Q)$ pierde convexidad.

Esto demuestra que muchos métodos clásicos basados en convexidad y separabilidad resultan inaplicables en condiciones realistas.

3.1.2.3 Limitaciones de modelos de localización deterministas

El modelo clásico UFLP resuelve:

\[ \min_{x\in\{0,1\}^m, y\ge 0}\sum_{i}f_i x_i + \sum_{i}\sum_j c_{ij}y_{ij}, \]

bajo restricciones de asignación deterministas. Sin embargo:

La demanda $d_j$ es aleatoria.
Los costos pueden variar según accesibilidad o daños.
Las capacidades reales son inciertas.

Modelar $d_j$ mediante $\mathbb{E}[d_j]$ genera soluciones frágiles frente a escenarios adversos (Snyder, 2006).

3.1.2.4 Ejemplo ilustrativo: EOQ clásico vs. EOQ extendido con stock de seguridad y penalización

Considérese un contexto en el que la demanda esperada es $D=1000$ unidades, con una variabilidad estimada cuya desviación estándar es $\sigma=10$. Aunque la demanda real puede fluctuar (por ejemplo, entre 800 y 1200 unidades en eventos históricos), en este enfoque se modela la incertidumbre mediante parámetros fijos derivados de su comportamiento estadístico. Los demás parámetros son:

Costo de pedido: $S=100$
Costo unitario de mantenimiento: $H=5$
Costo unitario de adquisición: $C=10$
Penalización por faltante: $\beta=50$
Tiempo de reposición: $L=0.1$
Nivel de servicio objetivo: $95\%\Rightarrow Z_{\alpha}=1.645$

El stock de seguridad se calcula como:

\[ SS=Z_{\alpha}\sigma\sqrt{L}\approx1.645\cdot10\cdot\sqrt{0.1}\approx5.20, \]

aunque en la función de costo extendida, este valor se incorpora como un término constante.

3.1.2.5 EOQ clásico (ignora incertidumbre y faltantes)

\[ Q_{EOQ}=\sqrt{\frac{2DS}{H}}=\sqrt{\frac{2(1000)(100)}{5}}=200, \]

y su costo asociado es:

\[ Z_{EOQ}=\frac{200}{1000}\cdot100+\frac{2}{200}\cdot5+1000\cdot10 =500+500+10000=11000. \]

3.1.2.6 EOQ extendido (con stock de seguridad y penalización por faltantes)

La función de costo adopta la forma:

\[ Z(Q)=\frac{Q}{D}(S+\beta C)+\left(\frac{2}{Q}+Z_{\alpha}\sigma\sqrt{L}\right)H+DC. \]

Sustituyendo los valores:

\[ Z(Q)=\frac{Q}{1000}(100+500)+\left(\frac{2}{Q}+5.20\right)\cdot5+10000 =\frac{Q}{600000}+2.5Q+10026. \]

Minimizando esta función determinista:

\[ Q^{\ast}=\sqrt{\frac{2.5}{600000}}\approx489.9,\qquad Z(Q^{\ast})\approx12475.44. \]

Si, por error, se usara la política del EOQ clásico ($Q=200$):

\[ Z(200)=\frac{200}{600000}+2.5\cdot200+10026 =3000+500+10026=13526, \]

lo que representa un 8.4% más de costo respecto a la política óptima del modelo extendido, además de una exposición significativamente mayor al riesgo de faltante.

Este contraste demuestra que los modelos deterministas que ignoran la variabilidad de la demanda y los costos de faltante pueden producir políticas subóptimas o inadmisibles en contextos humanitarios, donde la insatisfacción de la demanda tiene consecuencias operativas y éticas relevantes.

3.1.3 Estructura híbrida: decisiones discretas (ubicación) y continuas (inventario)

Los problemas integrados de localización e inventario forman parte de una clase fundamental denominada modelos híbridos o problemas de decisión mixta, en los que coexisten variables discretas y continuas. Este tipo de modelos presenta una complejidad inherente debida a la ruptura topológica inducida por las variables binarias, lo cual conlleva dominios no convexos y no conexos, impidiendo la aplicación directa de técnicas clásicas basadas en convexidad (Wolsey, 1998; Grossmann, 2002; Daskin, 2013).

3.1.3.1 Formulación matemática del espacio de decisiones

Sea: - $\mathcal{I} = \{1,\ldots,m\}$ el conjunto de ubicaciones posibles para almacenes, - $\mathcal{J} = \{1,\ldots,n\}$ las zonas de demanda, - $x = (x_1,\dots,x_m)^\top \in \{0,1\}^m$ las decisiones binarias de apertura, - $y = (y_{ij}) \in \mathbb{R}_+^{m\times n}$ los flujos desde almacenes a zonas, - $s = (s_1,\dots,s_m)^\top \in \mathbb{R}_+^m$ el inventario preposicionado.

El espacio factible se define como:

\[ \mathcal{X} := \left\{ (x,y,s)\in \{0,1\}^m\times \mathbb{R}_+^{m\times n}\times \mathbb{R}_+^m \;\middle|\; \begin{aligned} &\sum_{i\in\mathcal{I}} y_{ij} \ge d_j, &&\forall j\in\mathcal{J},\\ &\sum_{j\in\mathcal{J}} y_{ij} \le s_i, &&\forall i\in\mathcal{I},\\ &s_i \le M x_i, &&\forall i\in\mathcal{I} \end{aligned} \right\}. \tag{2.2} \]

Aquí, $d_j > 0$ representa la demanda de la zona $j$ y $M$ es un parámetro de gran magnitud. La tercera restricción describe un vínculo lógico: si $x_i = 0$, entonces $s_i = 0$ y, en consecuencia, $y_{ij} = 0$. Este acoplamiento induce una no convexidad estructural (Bertsekas, 1999).

Proposición (No convexidad).
El conjunto $\mathcal{X}$ definido en (2.2) no es convexo.
Demostración. Considérense las configuraciones factibles $x^{(1)}=(1,0,\dots,0)$ y $x^{(2)}=(0,1,0,\dots,0)$.
El punto medio $\tfrac12 x^{(1)} + \tfrac12 x^{(2)}$ tiene componentes iguales a $1/2$, lo cual viola la condición binaria. Luego, $\mathcal{X}$ no es convexo. ∎

La consecuencia directa es que condiciones de optimalidad de tipo KKT no garantizan optimalidad global (Lewis & Overton, 2013).

3.1.3.2 Función objetivo y acoplamiento estructural

El costo total del sistema se modela como:

\[ Z(x,y,s) = \underbrace{\sum_{i\in\mathcal{I}} f_i(x_i)}_{\text{Costos fijos}} + \underbrace{\sum_{i\in\mathcal{I}} h_i s_i}_{\text{Costos de inventario}} + \underbrace{\sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j\in\mathcal{J}} c_{ij} y_{ij}}_{\text{Costos de transporte}}. \tag{2.3} \]

Aunque la parte en variables continuas es lineal, el término $f_i(x_i)$ genera una no linealidad discreta; más aún, en la práctica humanitaria pueden existir economías de escala, accesibilidad variable o costos de apertura no lineales, reforzando la complejidad global (Grossmann, 2002).

El sistema presenta una jerarquía:

$x$ determina la infraestructura disponible,
$s$ depende de $x$,
$y$ depende de $s$.

Esto produce una dependencia en cascada que elimina la separabilidad global del problema.

Proposición (Convexidad condicional).
Para cualquier $\bar{x} \in \{0,1\}^m$, el subproblema

\[ \min_{(y,s) \in \mathcal{X}(\bar{x})} Z(\bar{x}, y, s) \]

es un programa lineal y, por tanto, convexo.
Demostración. Fijado $\bar{x}$, todas las restricciones son lineales en $(y,s)$ y la función objetivo es afín. ∎

Esta propiedad respalda el uso de descomposición tipo Benders o esquemas maestro–subproblema (Wolsey, 1998).

3.1.3.3 Ejemplo ilustrativo: interacción discreto–continuo

Considérese: - $m=2$ almacenes,
- $n=2$ demandas con $d_1=d_2=50$,
- Costos fijos $f_1=300$, $f_2=400$,
- Costos de inventario $h_1=h_2=3$,
- Costos de transporte:
$c_{11}=8$, $c_{12}=15$,
$c_{21}=12$, $c_{22}=7$,
- $M=100$.

(i) Abrir solo 1:
\[ Z = 300 + 3\cdot 100 + (8\cdot 50 + 15\cdot 50)=1750. \]

(ii) Abrir solo 2:
\[ Z = 400 + 3\cdot 100 + (12\cdot 50 + 7\cdot 50)=1650. \]

(iii) Abrir ambos:
Asignación eficiente, pero mayor costo fijo:
\[ Z = 300 + 400 + 3\cdot 100 + (8\cdot 50 + 7\cdot 50)=1750. \]

Conclusión: es óptimo abrir solo el almacén 2.
La solución cambiaría si los costos fijos disminuyeran, lo que evidencia la sensibilidad estructural del diseño híbrido (Daskin, 2013).

La integración simultánea de decisiones discretas y continuas induce dominios no convexos, dependencias lógicas y estructuras no separables que requieren marcos teóricos propios de la programación entera mixta, análisis no suave y descomposición matemática. Esta base establece los fundamentos del modelo propuesto en las siguientes secciones, donde se formaliza la integración bajo condiciones logísticas realistas y restricciones humanitarias.

3.2 Marco general de modelado: variables, parámetros y espacio de decisión

3.2.1 Conjuntos de índices: instalaciones potenciales $\mathcal{I}$ y zonas de demanda $\mathcal{J}$

La construcción rigurosa de un modelo de optimización comienza con la definición precisa de los conjuntos de índices, los cuales encapsulan la estructura topológica y semántica del sistema bajo estudio. En el contexto del problema integrado de localización e inventario para logística humanitaria, dos conjuntos indexados fundamentales determinan la arquitectura del modelo: el conjunto de instalaciones potenciales y el conjunto de zonas de demanda.

3.2.1.1 Definición (Conjunto de instalaciones potenciales).

Sea

\[ \mathcal{I} := \{1, 2, \dots, m\}, \quad m \in \mathbb{N},\; m \geq 1, \]

el conjunto finito y numerable de ubicaciones candidatas para la apertura de almacenes de preposicionamiento. Cada índice $i \in \mathcal{I}$ representa una localización geográfica factible donde podría instalarse una instalación de almacenamiento y distribución.

3.2.1.2 Definición (Conjunto de zonas de demanda).

Sea

\[ \mathcal{J} := \{1, 2, \dots, n\}, \quad n \in \mathbb{N},\; n \geq 1, \]

el conjunto finito y numerable de zonas afectadas o potenciales de demanda. Cada índice $j \in \mathcal{J}$ denota una región geográfica donde se anticipa la necesidad de suministros humanitarios tras un evento disruptivo.

Observación
Los conjuntos $\mathcal{I}$ y $\mathcal{J}$ se asumen disjuntos en función, aunque no necesariamente en localización física. Desde el punto de vista del modelo, los roles son distintos:
- Los elementos de $\mathcal{I}$ son fuentes de suministro.
- Los elementos de $\mathcal{J}$ son sumideros de demanda.

La cardinalidad de estos conjuntos —es decir, $m = |\mathcal{I}|$ y $n = |\mathcal{J}|$— determina directamente la complejidad combinatoria del problema. En particular, el número de configuraciones posibles de apertura de almacenes es $2^m$, lo que implica que incluso para valores modestos (por ejemplo, $m = 30$), el espacio discreto es del orden de $10^9$. Esta explosión combinatoria subraya la necesidad de métodos de optimización estructurada.

3.2.1.3 Ejemplo ilustrativo

Supóngase un escenario de planificación para respuesta a inundaciones dividido en cinco distritos. Se identifican tres ubicaciones potenciales para almacenes:

$i = 1$: Aeropuerto internacional,
$i = 2$: Base militar,
$i = 3$: Centro de distribución de una ONG.

Asimismo, se consideran cuatro zonas vulnerables:

$j = 1$: Zona ribereña,
$j = 2$: Área rural,
$j = 3$: Barrio urbano denso,
$j = 4$: Comunidad indígena aislada.

Los conjuntos índice resultan:

\[\mathcal{I} = \{1,2,3\}, \quad \mathcal{J} = \{1,2,3,4\}.\]

Sobre estos conjuntos se definirán:

variables binarias $x_i \in \{0,1\}$ para cada $i \in \mathcal{I}$,
variables continuas de flujo $y_{ij} \ge 0$ para $(i,j) \in \mathcal{I} \times \mathcal{J}$,
parámetros exógenos como $c_{ij}$ (costos), $f_i$ (costos fijos) y $d_j$ (demanda).

Nota metodológica.
En modelado riguroso, los conjuntos índice deben definirse antes que las variables, dado que estas heredan su dominio directamente de aquellos.

Los conjuntos $\mathcal{I}$ y $\mathcal{J}$ constituyen estructuras matemáticas esenciales que determinan la escala, la conectividad y la complejidad del modelo. Su correcta definición resulta crucial para la formalización posterior de variables, restricciones y dependencias del sistema.

3.2.2 Variables de decisión: binarias ($x_i$) y continuas ($y_{ij}$)

Una vez establecida la estructura combinatoria del problema mediante los conjuntos índice $\mathcal{I}$ y $\mathcal{J}$, el siguiente paso en la formulación rigurosa de un modelo de optimización es la definición precisa del espacio de decisiones, mediante la especificación de las variables de decisión. En el problema integrado de localización e inventario, este espacio es híbrido, compuesto por dos tipos cualitativamente distintos de variables:

Variables binarias, que modelan elecciones discretas de infraestructura,
Variables continuas, que representan flujos físicos de recursos.

Esta dualidad refleja la naturaleza multinivel del problema: decisiones estratégicas (¿dónde construir?) y decisiones tácticas u operativas (¿cuánto enviar?).

3.2.2.1 Definición (Variables binarias de localización).

Para cada $i \in \mathcal{I}$, se define la variable binaria

\[ x_i \in \{0,1\}, \]

donde

\[ x_i = \begin{cases} 1, & \text{si se decide abrir una instalación en la ubicación } i, \\ 0, & \text{en caso contrario}. \end{cases} \]

El vector $x = (x_i)_{i \in \mathcal{I}} \in \{0,1\}^m$ codifica una configuración de infraestructura del sistema logístico. Estas variables pertenecen a un espacio discreto no convexo y finito cuya cardinalidad es $2^m$.

3.2.2.2 Definición (Variables continuas de flujo).

Para cada par $(i,j) \in \mathcal{I} \times \mathcal{J}$, se define la variable continua

\[ y_{ij} \in \mathbb{R}_+, \]

que representa la cantidad de unidades asignadas desde la instalación $i$ a la zona de demanda $j$ en el período de planificación.

El tensor $y = (y_{ij})_{(i,j) \in \mathcal{I} \times \mathcal{J}} \in \mathbb{R}_+^{m \times n}$ describe la estructura de asignación del sistema, y pertenece a un espacio vectorial convexo, cerrado y de dimensión finita.

Observación (Naturaleza híbrida del espacio de decisiones).
El espacio total de decisiones es el producto cartesiano
\[ \mathcal{D} = \{0,1\}^m \times \mathbb{R}_+^{m \times n}, \] que es no convexo, no conexo y discontinuo en la dirección discreta. Esta estructura impide la aplicación directa de herramientas del análisis convexo clásico y exige métodos de optimización mixta.

Las variables $x_i$ y $y_{ij}$ no son independientes. Su acoplamiento se establece mediante restricciones de factibilidad, que garantizan que no se asignen flujos desde instalaciones no abiertas. Para todo $i \in \mathcal{I}$ y $j \in \mathcal{J}$:

\[ y_{ij} \le M x_i, \tag{2.4} \]

donde $M > 0$ es una constante suficientemente grande (por ejemplo, $M = \sum_{j \in \mathcal{J}} d_j$). La restricción (2.4) es una formulación big-M estándar que modela la implicación lógica:

\[ x_i = 0 \;\Rightarrow\; y_{ij} = 0 \quad \forall j \in \mathcal{J}. \]

3.2.3 Ejemplo ilustrativo: interpretación y acoplamiento de variables

Sea:

\[ \mathcal{I} = \{1,2,3\}, \qquad \mathcal{J} = \{1,2,3,4\}. \]

Supóngase que se decide abrir instalaciones en $i=1$ y $i=3$, pero no en $i=2$:

\[ x = (1,0,1). \]

Las restricciones big-M implican:

$y_{2j} = 0$ para todo $j$,
$y_{1j}, y_{3j} \ge 0$ como flujos posibles.

Una asignación factible es:

\[ \begin{aligned} y_{11} &= 30, & y_{12} &= 20, & y_{13} &= 0, & y_{14} &= 0, \\ y_{21} &= y_{22} = y_{23} = y_{24} = 0, \\ y_{31} &= 10, & y_{32} &= 0, & y_{33} &= 40, & y_{34} &= 25. \end{aligned} \]

Si la demanda es $d = (40,20,40,25)$, esta asignación es factible y completa.

Este ejemplo muestra que las variables binarias activan o desactivan subespacios del espacio continuo de flujos, generando una partición de $\mathcal{D}$ en $2^m$ subespacios convexos.

Las variables $x_i$ y $y_{ij}$ constituyen los grados de libertad fundamentales del modelo. Su naturaleza híbrida —discreta y continua— refleja la dualidad entre planeación estratégica y operación táctica. El acoplamiento lógico mediante restricciones big-M introduce no convexidad, justificando el uso de técnicas de optimización entera y métodos especializados. Las siguientes secciones integrarán estas variables en la función objetivo y en las restricciones de balance de flujo.

3.2.4 Parámetros del sistema: costos fijos, unitarios, demanda y capacidades

En la formulación matemática de un problema de optimización, los parámetros constituyen los datos exógenos que estructuran el espacio factible y la función objetivo. Su correcta especificación es requisito previo a la definición de variables y restricciones; por tanto, deben presentarse con dominio y unidades explícitas (práctica recomendada por Lewis y colaboradores; Lewis, 2003). En el problema integrado de localización e inventario consideramos, de modo explícito, las cuatro familias de parámetros siguientes.

3.2.4.1 Costos fijos de apertura

Para cada $i\in\mathcal{I}$ definimos \[ f_i \in \mathbb{R}_{+} \] como el costo fijo de apertura de la instalación en la localización $i$. En la formulación estándar el término contribuye a la función objetivo mediante $f_i x_i$ si $x_i$ es la variable binaria de apertura. Se exige \[ f_i \ge 0,\qquad \forall i\in\mathcal{I}. \]

Observación práctica: cuando la apertura implica economías o penalizaciones no triviales (por ejemplo, coste creciente con la capacidad instalada o costes discretos adicionales por remoción), $f_i$ puede modelarse como función $f_i(x_i,s_i)$; sin embargo, para la formulación base se adopta linealidad en $x_i$ y se externalizan las no linealidades en extensiones (Shapiro et al., 2021).

3.2.4.2 Costos unitarios de transporte

Para cada par $(i,j)\in\mathcal{I}\times\mathcal{J}$ definimos \[ c_{ij}\in\mathbb{R}_{+}, \] el costo unitario de transportar una unidad desde la instalación $i$ hasta la zona de demanda $j$. Requerimos \[ c_{ij}\ge 0,\quad \forall i,j, \] y denotamos la matriz $C:=[c_{ij}]_{i,j}\in\mathbb{R}_+^{m\times n}$. En contextos humanitarios $c_{ij}$ incorpora distancia, tiempo de acceso y penalizaciones por rutas inseguras; su estimación suele derivar de información geoespacial y modelos de capacidad vial (Daskin, 2013).

3.2.4.3 Demanda esperada

Para cada $j\in\mathcal{J}$, sea \[ d_j\in\mathbb{R}_{++} \] la demanda esperada en la zona $j$ durante el horizonte considerado. Adicionalmente definimos el vector $d=(d_j)_{j\in\mathcal{J}}$. En la formulación determinista de referencia usamos $d_j$ como estimador puntual (p. ej. esperanza), con la advertencia explícita de que su uso directo puede producir soluciones frágiles en colas de distribución (Snyder, 2006). Notación:

\[ d_j>0,\quad \forall j,\qquad d\in\mathbb{R}_{++}^n. \]

3.2.4.4 Capacidades de almacenamiento

Para cada $i\in\mathcal{I}$ definimos la capacidad máxima $s_i^{\max}$ mediante \[ s_i^{\max}\in\mathbb{R}_{+}\cup\{+\infty\}. \]

La restricción de capacidad se escribe, asociada a la lógica de activación $x_i$:

\[ \sum_{j\in\mathcal{J}} y_{ij} \le s_i^{\max} x_i,\qquad \forall i\in\mathcal{I}. \tag{2.5} \]

En ausencia de un tope operativo se toma $s_i^{\max}=+\infty$ (modelo no capacitado); en práctica real $s_i^{\max}$ suele venir de disponibilidad física, limitaciones regulatorias o logísticas.

3.2.4.5 Propiedades y observaciones formales

Dominios y no ambigüedad: Todos los parámetros deben venir acompañados de su dominio y unidades. Esto evita ambigüedades en pruebas de existencia, estabilidad numérica y escalado de variables (Lewis, 2003).
Sensibilidad estructural: Pequeñas variaciones en $f_i$, $c_{ij}$, $d_j$ o $s_i^{\max}$ pueden cambiar la estructura del óptimo (p. ej. la configuración $x^*$). Por ello, el análisis de sensibilidad y escenarios es parte inseparable de la modelación robusta (Snyder, 2006; Shapiro et al., 2021).
Elección de $M$ en big-M: Si se usa la formulación $y_{ij}\le M x_i$ para acoplar variables (versus la formulación con $s_i^{\max}$), se recomienda elegir $M$ igual a una cota realista (ej. $\sum_j d_j$) para evitar degradación numérica; empero, la formulación (2.5) es preferible por su interpretación física y por estrechar el dominio factible.

3.2.4.6 Ejemplo numérico (verificación de factibilidad y cálculo de costo)

Tomemos la instancia didáctica ya utilizada en las secciones previas:

$\mathcal{I}=\{1,2,3\}$, $\mathcal{J}=\{1,2,3,4\}$.
Costos fijos (miles USD): $f=(300,400,250)$.
Matriz $C=[c_{ij}]$ (USD/unidad):

\[ C= \begin{bmatrix} 8 & 20 & 15 & 25 \\ 12 & 18 & 10 & 30 \\ 20 & 10 & 12 & 18 \end{bmatrix}. \]

Demanda: $d=(40,20,40,25)$ (unidades).
Capacidades: $s^{\max}=(100,80,90)$.
Consideramos la decisión $x=(1,0,1)$ y la asignación \[ \begin{aligned} &y_{11}=30,\; y_{12}=20,\; y_{13}=0,\; y_{14}=0,\\ &y_{21}=y_{22}=y_{23}=y_{24}=0,\\ &y_{31}=10,\; y_{32}=0,\; y_{33}=40,\; y_{34}=25. \end{aligned} \]

Paso 1 — Verificación de capacidades (ecuación (2.5)):

Para $i=1$: \[ \sum_j y_{1j}=30+20+0+0=50 \le s_1^{\max} x_1 = 100\cdot 1 = 100\quad\checkmark. \]
Para $i=2$: \[ \sum_j y_{2j}=0 \le 80\cdot 0 = 0\quad\checkmark. \]
Para $i=3$: \[ \sum_j y_{3j}=10+0+40+25=75 \le 90\cdot 1 = 90\quad\checkmark. \]

Paso 2 — Verificación de cobertura de demanda:

$j=1$: $y_{11}+y_{31}=30+10=40 = d_1$,
$j=2$: $y_{12}=20 = d_2$,
$j=3$: $y_{33}=40 = d_3$,
$j=4$: $y_{34}=25 = d_4$.

Cobertura completa $\Rightarrow$ factible.

Paso 3 — Cálculo del costo total

La función de costo (determinista, sin mantenimiento de inventario explícito) se toma como

\[ Z(x,y)=\sum_{i\in\mathcal{I}} f_i x_i + \sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j\in\mathcal{J}} c_{ij} y_{ij}. \]

Sustituyendo:

Término fijo: $f_1 x_1 + f_3 x_3 = 300 + 250 = 550$ (miles USD).
Transporte (USD): calcular cada contribución \[ \begin{aligned} &8\cdot 30 = 240,\quad 20\cdot 20 = 400,\quad 20\cdot 10 = 200,\\ &12\cdot 40 = 480,\quad 18\cdot 25 = 450. \end{aligned} \] Suma transporte = $240+400+200+480+450 = 1770$ USD.

Total (homogeneizando unidades a miles USD): \[ Z = 550\ (\text{miles}) + 1.770\ (\text{miles}) = 2.320\ \text{miles USD}. \]

Interpretación: la solución es factible y el costo cuantificado; variaciones en $d$, $c_{ij}$ o $f_i$ deben re-evaluarse mediante análisis de sensibilidad y, en contextos reales, mediante formulaciones estocásticas o robustas (Snyder, 2006; Shapiro et al., 2021).

La especificación explícita de $f_i$, $c_{ij}$, $d_j$ y $s_i^{\max}$ permite no solo la construcción del problema determinista base sino también su extensión a modelos estocásticos (reemplazando $d_j$ por variables aleatorias $\tilde d_j$) o robustos (definiendo conjuntos de incertidumbre para $d_j$ y $c_{ij}$). La práctica recomendada (Lewis, 2003; Shapiro et al., 2021) es: (i) documentar fuentes y unidades de cada parámetro; (ii) fijar cotas realistas para $s_i^{\max}$ o $M$; y (iii) efectuar pruebas de sensibilidad sistemáticas antes de adoptar políticamente cualquier solución.

3.3 Definición formal del espacio factible $\mathcal{X}$

En optimización matemática, la estructura del conjunto factible determina en gran medida la naturaleza del problema, su complejidad computacional y la aplicabilidad de métodos de solución. Para el problema integrado de localización e inventario, el espacio factible es un subconjunto híbrido del producto cartesiano entre un espacio discreto y uno continuo. A continuación se define formalmente este conjunto y se analizan sus propiedades estructurales clave.

3.4 Definición (Espacio factible).

Dado el conjunto de instalaciones potenciales $\mathcal{I}$, el conjunto de zonas de demanda $\mathcal{J}$, y los parámetros exógenos $d_j > 0$, $s_i^{\max} \in \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}$, y una constante $M > 0$ suficientemente grande (por ejemplo, $M = \sum_{j \in \mathcal{J}} d_j$), el espacio factible del modelo se define como:

\[ \mathcal{X} := \left\{ (x, y) \in \{0,1\}^m \times \mathbb{R}_+^{m \times n} \ \middle|\ \begin{aligned} &\text{(i)}\quad \sum_{i \in \mathcal{I}} y_{ij} \ge d_j, && \forall j \in \mathcal{J}, \\ &\text{(ii)}\quad \sum_{j \in \mathcal{J}} y_{ij} \le s_i^{\max} x_i, && \forall i \in \mathcal{I}, \\ &\text{(iii)}\quad y_{ij} \le M x_i, && \forall (i,j) \in \mathcal{I}\times\mathcal{J} \end{aligned} \right\}. \]

Las tres familias de restricciones tienen interpretaciones operativas precisas:

(i) Cobertura de demanda: cada zona $j$ debe recibir al menos su demanda esperada $d_j$.
(ii) Capacidad condicionada: el flujo total saliente de la instalación $i$ no puede exceder su capacidad máxima si está abierta ($x_i = 1$).
(iii) Activación lógica fuerte: garantiza $y_{ij}=0$ cuando $x_i=0$, fortaleciendo las relajaciones lineales.

Observación 2.2.4.1.
Si $s_i^{\max} = +\infty$, la restricción (ii) se sustituye simplemente por $y_{ij} \le M x_i$. La estructura analítica permanece intacta.

3.4.1 Propiedades estructurales del espacio $\mathcal{X}$

3.4.1.1 Proposición (No convexidad y no conexidad).

El conjunto $\mathcal{X}$ es no convexo y, en general, no conexo en la topología estándar de $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^{m\times n}$.

Demostración.
Considérese $m \ge 2$. Sean:

$(x^{(1)}, y^{(1)})$ con $x^{(1)} = e_1$ y $y^{(1)}_{1j} = d_j$,
$(x^{(2)}, y^{(2)})$ con $x^{(2)} = e_2$ y $y^{(2)}_{2j} = d_j$.

Ambos puntos son factibles. Su media:

\[ (\bar{x}, \bar{y}) = \tfrac{1}{2}(x^{(1)}, y^{(1)}) + \tfrac{1}{2}(x^{(2)}, y^{(2)}) \]

tiene $\bar{x}_1 = \bar{x}_2 = 1/2 \notin \{0,1\}$, por lo que no pertenece a $\mathcal{X}$.
Además, no existe un camino continuo dentro de $\mathcal{X}$ que conecte ambos puntos, ya que cualquier camino debe atravesar valores fraccionarios de $x$. ∎

3.4.1.2 Proposición (Descomposición en secciones convexas).

\[ \mathcal{X} = \bigcup_{\bar{x} \in \{0,1\}^m} \left( \{\bar{x}\} \times \mathcal{Y}(\bar{x}) \right), \]

donde

\[ \mathcal{Y}(\bar{x}) := \left\{ y \in \mathbb{R}_+^{m \times n} \ \middle|\ \begin{aligned} &\sum_i y_{ij} \ge d_j,\ \forall j, \\ &\sum_j y_{ij} \le s_i^{\max} \bar{x}_i,\ \forall i \end{aligned} \right\} \]

es un poliedro convexo (posiblemente vacío).

Demostración.
Para $\bar{x}$ fijo, las restricciones que definen $\mathcal{Y}(\bar{x})$ son lineales en $y$, por lo que el conjunto es convexo y cerrado.
La unión es disjunta porque cada sección responde a un valor distinto de $x$. ∎

Esta descomposición motiva algoritmos híbridos: resolver un subproblema convexo para cada $\bar{x}$ y usar técnicas combinatorias para explorar $\{0,1\}^m$.

3.4.1.3 Ejemplo ilustrativo: construcción explícita de $\mathcal{X}$

Sea:

$\mathcal{I} = \{1,2\}$
$\mathcal{J} = \{1\}$
$d_1 = 10$
$s_1^{\max} = s_2^{\max} = 15$
$M = 10$

Entonces:

$x=(0,0)$:
$y_{11}=y_{21}=0$, pero exige $y_{11}+y_{21} \ge 10$ ⇒ infeasible.
$x=(1,0)$:
$y_{21}=0$, $y_{11}\in[10,15]$.
$x=(0,1)$:
$y_{11}=0$, $y_{21}\in[10,15]$.
$x=(1,1)$:
$y_{11}+y_{21}\ge 10$, con $y_{ij}\le 15$.
Es un poliedro factible en dimensión 2.

Este ejemplo muestra que $\mathcal{X}$ está formado por componentes disjuntas: dos segmentos y un poliedro 2D.

El conjunto $\mathcal{X}$ posee una estructura combinatoria compleja: es no convexo y no conexo, pero admite una descomposición en secciones convexas. Su correcta caracterización es esencial para asegurar consistencia del modelo, existencia de solución y diseño de algoritmos eficientes. En las siguientes secciones, este espacio actuará como dominio de la función de costo total.

3.4.2 Función objetivo general en problemas de localización–inventario

La función objetivo de un modelo de optimización encapsula el criterio de desempeño que se busca minimizar o maximizar. En problemas de localización–inventario para logística humanitaria, este criterio suele ser una medida económica agregada que refleja los costos totales del sistema, ponderando compromisos entre infraestructura fija, operación logística y servicio a la demanda. A continuación, se define formalmente la función objetivo general, se descompone en sus componentes estructurales y se analizan sus propiedades matemáticas.

3.4.2.1 Definición (Función objetivo total)

Dado el espacio factible $\mathcal{X}$ definido previamente y los parámetros $f_i \ge 0$, $c_{ij} \ge 0$, la función objetivo total $Z: \mathcal{X} \to \mathbb{R}$ se define como:

\[ Z(x, y) := \underbrace{\sum_{i \in \mathcal{I}} f_i x_i}_{\text{(A) Costo fijo de apertura}} + \underbrace{\sum_{i \in \mathcal{I}} \sum_{j \in \mathcal{J}} c_{ij} y_{ij}}_{\text{(B) Costo de transporte}} + \underbrace{\sum_{i \in \mathcal{I}} h_i \left( \sum_{j \in \mathcal{J}} y_{ij} \right)}_{\text{(C) Costo de inventario}}. \]

Aquí, $h_i \ge 0$ es el costo unitario de mantenimiento de inventario en la instalación $i$. El término modela el costo asociado al volumen total preposicionado (equivalente al total despachado en el modelo determinista base).

La función $Z$ es afín en $y$ para $x$ fijo, y lineal en $x$ cuando $y$ es tratado como variable libre. Sin embargo, en el dominio restringido $\mathcal{X}$, la interacción discontinua entre ambas familias de variables induce una estructura global no lineal.

Observación (Interpretación económica de los términos)
- (A): decisiones estratégicas de largo plazo.
- (B): costos operativos de corto plazo.
- (C): costo de oportunidad del inventario preposicionado.
En logística humanitaria, $f_i$, $c_{ij}$ y $h_i$ pueden incorporar factores no monetarios (tiempo, riesgo, deterioro, ética), siempre que estén normalizados en una métrica común.

3.4.2.2 Propiedades analíticas de $ Z $

3.4.2.3 Proposición (Continuidad y acotación inferior)

La función $Z : \mathcal{X} \to \mathbb{R}$ es continua en la topología relativa de $\mathcal{X}$ y está acotada inferiormente por cero.

Demostración.
Como $\mathcal{X} \subset \{0,1\}^m \times \mathbb{R}_+^{m \times n}$, su topología relativa es la unión disjunta de secciones del tipo $\{\bar{x}\} \times \mathcal{Y}(\bar{x})$. En cada sección, la función $y \mapsto Z(\bar{x}, y)$ es afín, y por tanto continua. Dado que todos los coeficientes $f_i$, $c_{ij}$, $h_i$ son no negativos, se tiene $Z(x, y) \ge 0$ para todo punto factible. ∎

3.4.2.4 Proposición (Coercividad condicional y existencia de solución)

Si $\mathcal{X} \ne \emptyset$, entonces el problema

\[ \min_{(x, y) \in \mathcal{X}} Z(x, y) \]

admite solución óptima.

Demostración.
Como el conjunto discreto $\{0,1\}^m$ es finito, la minimización puede escribirse como:

\[ \min_{\bar{x} \in \{0,1\}^m} \left\{ \sum_i f_i \bar{x}_i + \min_{y \in \mathcal{Y}(\bar{x})} \left( \sum_{i,j} (c_{ij} + h_i)\, y_{ij} \right) \right\}. \]

Para cada $\bar{x}$ tal que $\mathcal{Y}(\bar{x}) \ne \emptyset$, el subproblema interno es un programa lineal definido sobre un poliedro no vacío y acotado (ya que existen cotas inferiores por demanda y los coeficientes son no negativos). Por el teorema de existencia de mínimo en poliedros, el subproblema posee solución. Como el número de posibles $\bar{x}$ es finito, el mínimo global existe. ∎

3.4.2.5 Ejemplo ilustrativo: evaluación explícita de $Z(x, y)$

Considérese el escenario:

$\mathcal{I} = \{1,2\}$,
$\mathcal{J} = \{1\}$,
$d_1 = 10$,
$f_1 = 300$, $f_2 = 400$,
$c_{11} = 10$, $c_{21} = 12$,
$h_1 = 3$, $h_2 = 2$.

Caso 1: $x = (1, 0)$, $y_{11} = 12$, $y_{21} = 0$

\[ \begin{aligned} Z(x,y) &= f_1 x_1 + f_2 x_2 + (c_{11}+h_1)\,y_{11} + (c_{21}+h_2)\,y_{21} \\ &= 300 + 0 + (10+3)\cdot 12 + (12+2)\cdot 0 \\ &= 300 + 156 = 456. \end{aligned} \]

Caso 2: $x = (0,1)$, $y_{21} = 10$

\[ Z = 0 + 400 + (12+2)\cdot 10 = 540. \]

Caso 3: $x = (1,1)$, $y_{11} = 6$, $y_{21} = 4$

\[ Z = 300 + 400 + 13\cdot 6 + 14\cdot 4 = 834. \]

El valor mínimo se obtiene abriendo únicamente la instalación 1, con inventario despachado $12$ (mayor que la demanda), lo cual es admisible y económicamente óptimo bajo estos parámetros.

La función objetivo $Z(x, y)$ formaliza el análisis de compromisos entre inversión en infraestructura, costos operativos e inventario preposicionado. Su estructura afín por partes y la no convexidad del dominio $\mathcal{X}$ definen un MILP clásico, aunque constituyen la base teórica necesaria para extensiones no lineales, robustas o estocásticas. La existencia garantizada de al menos una solución óptima justifica el enfoque algorítmico planteado en el Capítulo 3.