5  Fundamentación Teórica y Formulación Matemática del Modelo

5.1 Introducción al problema integrado de localización e inventario

5.1.1 Relevancia en logística humanitaria y gestión de emergencias

La logística humanitaria desempeña un papel fundamental en la respuesta a desastres, al coordinar la disponibilidad, distribución y acceso equitativo a bienes esenciales en entornos caracterizados por alta incertidumbre, infraestructura comprometida y recursos limitados (Balcik y Beamon (2008); Caunhye, Nie, y Pokharel (2012)). A diferencia de los sistemas logísticos comerciales, donde predominan criterios de eficiencia económica, los contextos humanitarios priorizan objetivos de rapidez, cobertura universal y mitigación del riesgo, lo que exige modelos matemáticos capaces de integrar decisiones estratégicas y tácticas bajo condiciones de información imperfecta.

En este marco, el problema integrado de localización e inventario se ha consolidado como una herramienta clave para la planificación anticipada, ya que permite determinar, de manera conjunta:

1. La ubicación óptima de almacenes de preposicionamiento, y
   
2. Los niveles de inventario que deben almacenarse antes de la ocurrencia de un evento disruptivo.

Ambas decisiones condicionan el desempeño global del sistema en términos de costo total, robustez operativa y equidad en la atención. Su naturaleza híbrida, estratégica (ubicación) y táctica (inventario), impone desafíos estructurales que no pueden abordarse mediante enfoques secuenciales o modelos clásicos aislados.

Aunque la demanda en estos escenarios es inherentemente incierta, en este trabajo se adopta un enfoque determinista robusto, ampliamente fundamentado en la teoría de inventarios bajo demanda aleatoria del artículo seminal Hadley y Whitin (1963). Este enfoque no modela la incertidumbre mediante variables aleatorias ni formulaciones estocásticas, sino que la incorpora de forma paramétrica mediante un stock de seguridad fijo, derivado de estimaciones de la variabilidad de la demanda.

Específicamente, se asume que la demanda en cada localidad \(j\in\mathcal{J}\) posee un valor esperado \(d_j>0\) y una desviación estándar \(\sigma_j\geq0\), ambos tratados como parámetros exógenos conocidos. Dado un tiempo de reposición \(L>0\) y un nivel de servicio objetivo \(\alpha\in(0,1)\), se define el factor de seguridad como \(Z=\Phi^{-1}(\alpha)\), donde \(\Phi^{-1}\) denota la inversa de la función de distribución acumulada de la normal estándar. Aunque esta construcción tiene raíces probabilísticas, en el modelo propuesto todos los elementos son deterministas, y el término \(Z\sigma\sqrt{L}\) se incorpora como un parámetro de ajuste que refleja la magnitud de la incertidumbre.

Este enfoque permite formular un modelo de optimización no lineal determinista, cuya estructura matemática se preserva intacta frente a la complejidad computacional inherente a los modelos estocásticos. La ausencia de esperanzas, escenarios o variables de segundo nivel garantiza trazabilidad analítica, estabilidad numérica y compatibilidad con métodos de optimización eficientes para problemas con cotas, como se discutirá en capítulos posteriores.

5.1.2 Limitaciones de los enfoques clásicos bajo incertidumbre y no linealidad

Los modelos clásicos de localización e inventario, como el Uncapacitated Facility Location Problem (UFLP) y el Economic Order Quantity (EOQ) model o sus variantes deterministas, han sido ampliamente estudiados bajo el supuesto de información perfecta y estructura lineal, un enfoque cuya pertinencia disminuye notablemente en escenarios humanitarios caracterizados por incertidumbre estructural y no linealidad inherente en costos y restricciones como se representa en Hadley y Whitin (1963); Snyder (2006).

5.1.2.1 Supuestos restrictivos del modelo EOQ clásico

El modelo EOQ se fundamenta en supuestos como:

1. Demanda constante y conocida \(D>0\).
2. Tiempo de entrega determinista \(L \geq 0\).
3. Costos lineales: costo de pedido \(S\), costo unitario de mantenimiento \(H\), sin faltantes.
4. Reposición instantánea y sin restricciones de capacidad, de acuerdo con los supuestos planteados por Hadley y Whitin (1963).

El costo total del modelo es:

\[ Z^{EOQ}(Q)=\frac{D}{Q}S+\frac{Q}{2}H+DC, \]

y su solución óptima clásica:

\[ Q^{EOQ}=\sqrt{\frac{2DS}{H}}. \]

Este resultado depende de la deterministicidad y la convexidad estricta. Sin embargo, en logística humanitaria:

• La demanda es aleatoria \(D(\omega)\).
• \(L\) es incierto debido a afectaciones en infraestructura.
• Los faltantes deben modelarse mediante una penalización finita \(\beta>0\).
• Los costos pueden presentar economías de escala y no convexidades, es decir, situaciones donde el costo promedio por unidad disminuye al aumentar el volumen de pedido o transporte, como se discute en Porteus (2002).

5.1.2.2 Incapacidad del EOQ para capturar riesgo

Aunque la demanda en contextos humanitarios es inherentemente estocástica, en este trabajo se adopta un enfoque determinista robusto, ampliamente utilizado en la teoría de inventarios bajo incertidumbre como se expone en Porteus (2002) y Zipkin (2000). Bajo los supuestos clásicos de demanda normal durante el tiempo de entrega, política de revisión continua y costo lineal por faltante, el costo total esperado puede aproximarse mediante una función determinista del tamaño de lote \(Q\). Esta aproximación incorpora los efectos de la incertidumbre a través del inventario de seguridad \(Z_\alpha \sigma_L\) y la penalización esperada por faltantes, pero su optimización se realiza como un problema determinista.

Si la demanda durante el tiempo de entrega se modela como \(D_L \sim \mathcal{N}(\mu_L, \sigma_L^2)\), el nivel de inventario debe satisfacer: \[ \mathbb{P}(D_L \leq Q/2 + Z_\alpha \sigma_L) \geq \alpha, \]

lo que justifica la inclusión del término \(Z_\alpha \sigma_L\) en la función de costo. Con ello, la función de costo extendida adopta la forma: Con ello, la función de costo extendida se vuelve:

\[ Z(Q)=\frac{D}{Q}S+\left(\frac{Q}{2}+Z_\alpha\sigma_L\right)H+DC+\frac{D}{Q}\beta C. \tag{5.1}\]

Esta función no es convexa globalmente cuando \(\sigma_L\) depende de \(Q\), como ocurre cuando existe congestión en transporte o variabilidad dependiente del tamaño del pedido, aspectos estudiados por Bertsimas y Thiele (2006) y Shapiro, Dentcheva, y Ruszczyński (2021).

Proposición (No linealidad estricta).
La función \(Z(Q)\) definida en (2.1) es diferenciable en \((0,\infty)\), pero no es convexa globalmente si \(\beta>0\) y \(\sigma_L>0\).
Si \(\sigma_L\) es constante: \[ \frac{d^2 Z}{dQ^2}=\frac{2D(S+\beta C)}{Q^3}>0. \] Pero si \(\sigma_L=\sigma\sqrt{L(Q)}\) y \(L(Q)\) es no lineal, entonces \(Z(Q)\) pierde convexidad.

Esto demuestra que muchos métodos clásicos basados en convexidad y separabilidad resultan inaplicables en condiciones realistas.

5.1.2.3 Limitaciones de modelos de localización deterministas

El modelo clásico UFLP resuelve:

\[ \min_{x\in\{0,1\}^m, y\ge 0}\sum_{i}f_i x_i + \sum_{i}\sum_j c_{ij}y_{ij}, \]

bajo restricciones de asignación deterministas. Sin embargo:

• La demanda \(d_j\) es aleatoria.
• Los costos pueden variar según accesibilidad o daños.
• Las capacidades reales son inciertas.

Modelar \(d_j\) mediante \(\mathbb{E}[d_j]\) genera soluciones frágiles frente a escenarios adversos (Snyder (2006)).

5.1.2.4 Ejemplo ilustrativo: EOQ clásico vs. EOQ extendido con stock de seguridad y penalización

Considérese un contexto en el que la demanda esperada es \(D=1000\) unidades, con una variabilidad estimada cuya desviación estándar es \(\sigma=10\). Aunque la demanda real puede fluctuar (por ejemplo, entre 800 y 1200 unidades en eventos históricos), en este enfoque se modela la incertidumbre mediante parámetros fijos derivados de su comportamiento estadístico. Los demás parámetros son:

• Costo de pedido: \(S=100\)
  
• Costo unitario de mantenimiento: \(H=5\)
  
• Costo unitario de adquisición: \(C=10\)
  
• Penalización por faltante: \(\beta=50\)
  
• Tiempo de reposición: \(L=0.1\)
  
• Nivel de servicio objetivo: \(95\%\Rightarrow Z_{\alpha}=1.645\)

El stock de seguridad se calcula como:

\[ SS=Z_{\alpha}\sigma\sqrt{L}\approx1.645\cdot10\cdot\sqrt{0.1}\approx5.20, \]

aunque en la función de costo extendida, este valor se incorpora como un término constante.

5.1.2.5 EOQ clásico (ignora incertidumbre y faltantes)

\[ Q_{EOQ}=\sqrt{\frac{2DS}{H}}=\sqrt{\frac{2(1000)(100)}{5}}=200, \]

y su costo asociado es:

\[ Z_{EOQ}=\frac{200}{1000}\cdot100+\frac{2}{200}\cdot5+1000\cdot10 =500+500+10000=11000. \]

5.1.2.6 EOQ extendido (con stock de seguridad y penalización por faltantes)

La función de costo adopta la forma:

\[ Z(Q)=\frac{Q}{D}(S+\beta C)+\left(\frac{2}{Q}+Z_{\alpha}\sigma\sqrt{L}\right)H+DC. \]

Sustituyendo los valores:

\[\begin{align*} Z(Q) &= \frac{Q}{1000}(100+500) + \left(\frac{2}{Q} + 5.20\right)\cdot 5 + 10000 \\ &= \frac{Q}{600000} + 2.5Q + 10026. \end{align*}\]

Minimizando esta función determinista:

\[ Q^{\ast}=\sqrt{\frac{2.5}{600000}}\approx489.9,\qquad Z(Q^{\ast})\approx12475.44. \]

Si, por error, se usara la política del EOQ clásico (\(Q=200\)):

\[ Z(200)=\frac{200}{600000}+2.5\cdot200+10026 =3000+500+10026=13526, \]

lo que representa un 8.4% más de costo respecto a la política óptima del modelo extendido, además de una exposición significativamente mayor al riesgo de faltante.

Este contraste demuestra que los modelos deterministas que ignoran la variabilidad de la demanda y los costos de faltante pueden producir políticas subóptimas o inadmisibles en contextos humanitarios, donde la insatisfacción de la demanda tiene consecuencias operativas y éticas relevantes.

5.1.3 Estructura híbrida: decisiones discretas (ubicación) y continuas (inventario)

Los problemas integrados de localización e inventario pertenecen a la clase de modelos de optimización mixta, en los que coexisten variables discretas (por ejemplo, decisiones binarias de apertura de almacenes) y variables continuas (como flujos de asignación o niveles de inventario). Esta combinación induce una estructura no convexa y no conexa en el conjunto factible, debido a la naturaleza combinatoria de las variables binarias.

Como argumentan Wolsey (1998), Grossmann (2002) y Daskin (2013), esta pérdida de convexidad impide la aplicación directa de técnicas clásicas de optimización convexa, tales como las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker(KKT) para garantizar optimalidad global, y exige el uso de métodos especializados para problemas mixtos entero-continuos.

5.1.3.1 Formulación matemática del espacio de decisiones

Sea:

• \(\mathcal{I} = \{1,\ldots,m\}\) el conjunto de ubicaciones posibles para almacenes,
• \(\mathcal{J} = \{1,\ldots,n\}\) las localidades de demanda,
• \(x = (x_1,\dots,x_m)^\top \in \{0,1\}^m\) las decisiones binarias de apertura,
• \(y = (y_{ij}) \in \mathbb{R}_+^{m\times n}\) los flujos desde almacenes a localidades,
• \(s = (s_1,\dots,s_m)^\top \in \mathbb{R}_+^m\) el inventario preposicionado.

El espacio factible se define como el conjunto:

\[ \mathcal{X} := \left\{ (x, y, s) \;\middle|\; \begin{aligned} & x_i \in \{0,1\}, && \forall i \in \mathcal{I}, \\ & y_{ij} \ge 0, && \forall i \in \mathcal{I},\; \forall j \in \mathcal{J}, \\ & s_i \ge 0, && \forall i \in \mathcal{I}, \\ & \sum_{i \in \mathcal{I}} y_{ij} \ge d_j, && \forall j \in \mathcal{J}, \\ & \sum_{j \in \mathcal{J}} y_{ij} \le s_i, && \forall i \in \mathcal{I}, \\ & s_i \le M x_i, && \forall i \in \mathcal{I} \end{aligned} \right\}. \tag{5.2}\]

Aquí, \(d_j > 0\) representa la demanda de la localidad \(j\) y \(M\) es un parámetro de gran magnitud. La tercera restricción impone un vínculo lógico: si \(x_i = 0\), entonces \(s_i = 0\) y, en consecuencia, \(y_{ij} = 0\) para todo \(j \in \mathcal{J}\).

Este acoplamiento, combinado con la naturaleza binaria de las variables \(x_i\), impide que el conjunto factible \(\mathcal{X}\) sea convexo. La no convexidad se debe exclusivamente a la discreción de las variables \(x_i\): el promedio de dos puntos factibles con configuraciones distintas de infraestructura no es factible, ya que viola la condición \(x_i \in \{0,1\}\). Esta propiedad, la ausencia de convexidad en el conjunto factible debido a variables enteras, es bien conocida en la teoría de optimización mixta, como puede verse en el ejemplo de selección de proyectos presentado por Bertsekas (1999) donde las decisiones binarias de aceptar o rechazar proyectos generan un conjunto factible no convexo.

Proposición (No convexidad).
El conjunto \(\mathcal{X}\) definido en (2.2) no es convexo.
Demostración. Considérense las configuraciones factibles con \(x^{(1)} = (1,0,\dots,0)\), \(s^{(1)} = (d^\top \mathbf{1}, 0, \dots, 0)^\top\), \(y^{(1)}\) asignando toda la demanda al almacén 1, y análogamente \(x^{(2)} = (0,1,0,\dots,0)\) con asignación al almacén 2. Ambos puntos pertenecen a \(\mathcal{X}\). Sin embargo, su punto medio tiene \(x_i = 1/2\) para \(i=1,2\), lo cual viola \(x_i \in \{0,1\}\). Por lo tanto, \(\mathcal{X}\) no es convexo. ∎

Debido a esta no convexidad, el problema no pertenece a la clase de optimización convexa, y en consecuencia no es posible garantizar optimalidad global mediante condiciones de optimalidad basadas en el análisis convexo clásico.

5.1.3.2 Función objetivo y acoplamiento estructural

La función objetivo del modelo de ubicación de almacenes e inventario humanitario se define como:

\[ Z(x,y,s) = \underbrace{\sum_{i\in\mathcal{I}} f_i(x_i)}_{\text{Costos fijos}} + \underbrace{\sum_{i\in\mathcal{I}} h_i s_i}_{\text{Costos de inventario}} + \underbrace{\sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j\in\mathcal{J}} c_{ij} y_{ij}}_{\text{Costos de transporte}}. \tag{5.3}\]

Aunque la parte en variables continuas es lineal, el término \(f_i(x_i)\) introduce una no linealidad discreta, ya que \(x_i \in \{0,1\}\). Esta discontinuidad, combinada con el acoplamiento lógico \(s_i \leq M x_i\), da lugar a un espacio de decisiones no convexo y combinatorio.

La dificultad computacional del problema se debe a la interacción entre variables discretas y continuas, que genera una estructura no separable y no convexa, característica de los programas mixtos-enteros no lineales (MINLP). Como señalan Grossmann (2002), esta clase de problemas es computacionalmente exigente porque:

• no se puede aplicar directamente la optimización convexa,
• los métodos de enumeración son inviables en problemas de tamaño moderado,
• y la no linealidad impide el uso de técnicas eficientes basadas en planos de corte o relajaciones lineales exactas.

El sistema presenta una jerarquía:

1. \(x\) determina la infraestructura disponible,
   
2. \(s\) depende de \(x\),
   
3. \(y\) depende de \(s\).

Esto produce una dependencia en cascada que elimina la separabilidad global del problema.

Proposición (Convexidad condicional).
Para cualquier \(\bar{x} \in \{0,1\}^m\), el subproblema

\[ \min_{(y,s) \in \mathcal{X}(\bar{x})} Z(\bar{x}, y, s) \]

es un problema de programación lineal y, por tanto, convexo.
Demostración. Al fijar \(\bar{x}\), los términos \(f_i \bar{x}_i\) se convierten en constantes. La función objetivo resultante es lineal en \((y,s)\), y todas las restricciones que definen \(\mathcal{X}(\bar{x})\) son lineales en estas variables. Por definición, esto constituye un problema de programación lineal, cuyo conjunto factible es un poliedro convexo. \(\blacksquare\)

Esta propiedad, consistente en la convexidad del subproblema continuo para una configuración de apertura fija, es fundamental para la aplicación de métodos de descomposición, tales como el algoritmo de Benders. En dichos enfoques, el problema original se divide en:

• problema maestro, que maneja las variables enteras (\(x\)) y genera configuraciones candidatas, y
• un subproblema, que, para una configuración dada, resuelve el problema continuo (aquí, lineal) y devuelve información (por ejemplo, cortes de Benders) para refinar el problema maestro, siguiendo la metodología de descomposición descrita en Wolsey (1998).

5.1.3.3 Ejemplo ilustrativo: interacción discreto–continuo

Considérese:

• \(m=2\) almacenes,
  
• \(n=2\) demandas con \(d_1=d_2=50\),
  
• Costos fijos \(f_1=300\), \(f_2=400\),
  
• Costos de inventario \(h_1=h_2=3\),
  
• Costos de transporte:
  \(c_{11}=8\), \(c_{12}=15\),
  \(c_{21}=12\), \(c_{22}=7\),
  
• \(M=100\).

(i) Abrir solo 1:
\[ Z = 300 + 3\cdot 100 + (8\cdot 50 + 15\cdot 50)=1750. \]

(ii) Abrir solo 2:
\[ Z = 400 + 3\cdot 100 + (12\cdot 50 + 7\cdot 50)=1650. \]

(iii) Abrir ambos:
Asignación eficiente, pero mayor costo fijo:
\[ Z = 300 + 400 + 3\cdot 100 + (8\cdot 50 + 7\cdot 50)=1750. \]

La mejor configuración es abrir únicamente el almacén 2. Este resultado ilustra una propiedad fundamental de los problemas que combinan variables discretas y continuas: la solución óptima puede cambiar de manera discontinua ante perturbaciones arbitrariamente pequeñas en los parámetros del problema. Por ejemplo, si \(f_2\) disminuye a \(350\), la solución óptima se mantiene; pero si \(f_1\) baja a \(250\), podría resultar óptimo abrir el almacén \(1\).

A este fenómeno, la dependencia discontinua de la solución óptima respecto a los datos del problema, causada por la naturaleza combinatoria de las decisiones binarias, nos referiremos como sensibilidad discreta. Esta característica distingue claramente a los modelos mixtos entero-continuos de los problemas puramente continuos, donde bajo condiciones de regularidad la solución óptima varía de forma suave como se puede ver en Daskin (2013).

El conjunto factible de este tipo de problemas, definido por la combinación de variables binarias y continuas junto con restricciones de activación lógica, no es convexo (como se demostró en la Proposición~2.1.3.1). Esta no convexidad, junto con la interacción entre decisiones estratégicas y operativas, exige el uso de técnicas propias de la programación entera mixta y de la optimización combinatoria. Estas bases teóricas sustentan el modelo propuesto en las secciones siguientes, donde se integra esta estructura con un componente de inventario no lineal bajo incertidumbre parametrizada.

5.2 Marco general de modelado: variables, parámetros y espacio de decisión

5.2.1 Conjuntos de índices: alamcenes potenciales \(\mathcal{I}\) y localidades de demanda \(\mathcal{J}\)

En la formulación matemática del problema integrado de localización e inventario, los conjuntos de índices constituyen la base sobre la cual se definen las variables de decisión, los parámetros y las restricciones. Como se estableció en la Sección~2.1, denotamos por

• \(\mathcal{I}\): el conjunto de almacenes candidatos para preposicionamiento, y
  
• \(\mathcal{J}\): el conjunto de localidades geográficas afectadas.

Estos conjuntos son finitos, disjuntos, es decir, \(\mathcal{I} \cap \mathcal{J} = \varnothing\), y sus elementos desempeñan roles distintos en el modelo: los índices en \(\mathcal{I}\) corresponden a fuentes de suministro, mientras que los de \(\mathcal{J}\) representan destinos de demanda.

La cardinalidad de \(\mathcal{I}\), denotada \(m = |\mathcal{I}|\), determina la dimensión del espacio de decisiones estratégicas. Dado que el costo de apertura de cada almacén se modela mediante una variable binaria \(x_i \in \{0,1\}\), el número total de configuraciones posibles de infraestructura es \(2^m\). Esta explosión combinatoria implica que, incluso para tamaños modestos de \(m\) (por ejemplo, \(m = 30\)), el espacio discreto contiene más de \(10^9\) soluciones factibles. En consecuencia, métodos de enumeración exhaustiva son inviables, y se requieren algoritmos que exploten la estructura matemática del problema, es decir, su formulación como un problema de optimización con variables mixtas, función objetivo diferenciable y restricciones acopladas, para identificar soluciones óptimas o aproximadas en tiempo razonable.

La interacción entre \(\mathcal{I}\) y \(\mathcal{J}\) se modela mediante variables de flujo \(y_{ij} \geq 0\), que cuantifican la asignación de suministros desde el almacén \(i\) a la localidad \(j\). Esta relación define una matriz de conectividad cuya densidad depende de factores operativos como la distancia, accesibilidad y capacidades logísticas, y que condiciona tanto la factibilidad como la complejidad del subproblema continuo asociado a una configuración fija de almacenes.

5.2.1.1 Ejemplo ilustrativo

Supóngase un escenario de planificación para respuesta a inundaciones dividido en cinco distritos. Se identifican tres ubicaciones potenciales para almacenes:

• \(i = 1\): Aeropuerto internacional,
  
• \(i = 2\): Base militar,
  
• \(i = 3\): Centro de distribución de una ONG.

Asimismo, se consideran cuatro zonas vulnerables:

• \(j = 1\): Zona ribereña,
  
• \(j = 2\): Área rural,
  
• \(j = 3\): Barrio urbano denso,
  
• \(j = 4\): Comunidad indígena aislada.

Los conjuntos índice resultan:

\[\mathcal{I} = \{1,2,3\}, \quad \mathcal{J} = \{1,2,3,4\}.\]

Sobre estos conjuntos se definirán:

• variables binarias \(x_i \in \{0,1\}\) para cada \(i \in \mathcal{I}\),
  
• variables continuas de flujo \(y_{ij} \ge 0\) para \((i,j) \in \mathcal{I} \times \mathcal{J}\),
  
• parámetros exógenos como \(c_{ij}\) (costos), \(f_i\) (costos fijos) y \(d_j\) (demanda).

Nota metodológica.
En modelado riguroso, los conjuntos índice deben definirse antes que las variables, dado que estas heredan su dominio directamente de aquellos.

5.2.2 Variables de decisión: binarias (\(x_i\)) y continuas (\(y_{ij}\))

Una vez establecida la estructura combinatoria del problema mediante los conjuntos índice \(\mathcal{I}\) y \(\mathcal{J}\), el siguiente paso en la formulación rigurosa de un modelo de optimización es la definición precisa del espacio de decisiones, mediante la especificación de las variables de decisión. En el problema integrado de localización e inventario para logística humanitaria, introducido en la Sección 2.1.1, este espacio de decisiones es híbrido, ya que combina variables binarias y continuas, compuesto por dos tipos cualitativamente distintos de variables:

• Variables binarias, que modelan elecciones discretas de infraestructura,
• Variables continuas, que representan flujos físicos de recursos.

Esta dualidad refleja la estructura mixta del problema, que combina dos tipos de decisiones con roles y horizontes operativos distintos:

• Decisiones estratégicas, como la apertura de almacenes, que son irreversibles una vez implementadas y se modelan mediante variables binarias;
• Decisiones tácticas, como la asignación de suministros o el preposicionamiento de inventario, que son ajustables en el corto plazo y se representan mediante variables continuas.

Esta interacción entre decisiones de largo y corto plazo es una característica esencial de los modelos integrados en logística humanitaria.

5.2.2.1 Definición (Variables binarias de almacén).

Para cada \(i \in \mathcal{I}\), se define la variable binaria

\[ x_i \in \{0,1\}, \]

donde

\[ x_i = \begin{cases} 1, & \text{si se decide abrir un almacén en la ubicación } i, \\ 0, & \text{en caso contrario}. \end{cases} \]

El vector \(x = (x_i)_{i \in \mathcal{I}} \in \{0,1\}^m\) codifica una configuración de apertura de almacenes en la red de respuesta humanitaria. Este vector pertenece al conjunto discreto \(\{0,1\}^m\), que es no convexo, finito y tiene cardinalidad \(2^m\).

5.2.2.2 Definición (Variables continuas de flujo).

Para cada par \((i,j) \in \mathcal{I} \times \mathcal{J}\), se define la variable continua

\[ y_{ij} \in \mathbb{R}_+, \]

que representa la cantidad de unidades asignadas desde la instalación \(i\) a la localidad de demanda \(j\).

El tensor \(y = (y_{ij})_{(i,j) \in \mathcal{I} \times \mathcal{J}} \in \mathbb{R}_+^{m \times n}\) describe la estructura de asignación de suministros desde almacenes candidatos a localidades de demanda, y pertenece a un espacio vectorial convexo, cerrado y de dimensión finita.

Observación (Naturaleza híbrida del espacio de decisiones).
El espacio total de decisiones es el producto cartesiano
\[ \mathcal{D} = \{0,1\}^m \times \mathbb{R}_+^{m \times n}, \] que es tipo no convexo, no conexo y discontinuo en la dirección discreta. Esta estructura impide la aplicación directa de herramientas del análisis convexo clásico y exige métodos de optimización entera mixta.

Las variables \(x_i\) y \(y_{ij}\) no son independientes. Su acoplamiento se establece mediante restricciones de factibilidad, que garantizan que no se asignen flujos desde almacenes no abiertos. Para todo \(i \in \mathcal{I}\) y \(j \in \mathcal{J}\):

\[ y_{ij} \le M x_i, \tag{5.4}\]

donde \(M > 0\) es una constante suficientemente grande (por ejemplo, \(M = \sum_{j \in \mathcal{J}} d_j\)). La restricción (2.4) es una formulación big-M estándar que modela la implicación lógica:

\[ x_i = 0 \;\Rightarrow\; y_{ij} = 0 \quad \forall j \in \mathcal{J}. \]

5.2.3 Ejemplo ilustrativo: interpretación y acoplamiento de variables

Sea:

\[ \mathcal{I} = \{1,2,3\}, \qquad \mathcal{J} = \{1,2,3,4\}. \]

Supóngase que se decide abrir almacenes en \(i=1\) y \(i=3\), pero no en \(i=2\):

\[ x = (1,0,1). \]

Las restricciones big-M implican:

• \(y_{2j} = 0\) para todo \(j\),
• \(y_{1j}, y_{3j} \ge 0\) como flujos posibles.

Una asignación factible es:

\[ \begin{aligned} y_{11} &= 30, & y_{12} &= 20, & y_{13} &= 0, & y_{14} &= 0, \\ y_{21} &= y_{22} = y_{23} = y_{24} = 0, \\ y_{31} &= 10, & y_{32} &= 0, & y_{33} &= 40, & y_{34} &= 25. \end{aligned} \]

Si la demanda es \(d = (40,20,40,25)\), esta asignación es factible y completa.

Este ejemplo muestra que las variables binarias activan o desactivan subespacios del espacio continuo de flujos, generando una partición de \(\mathcal{D}\) en \(2^m\) subespacios convexos.

Las variables \(x_i\) y \(y_{ij}\) constituyen los grados de libertad fundamentales del modelo. Su naturaleza híbrida, discreta y continua, refleja la dualidad entre planeación estratégica (apertura de almacenes) y operación táctica (asignación de recursos). El acoplamiento lógico mediante restricciones big-M introduce no convexidad, justificando el uso de técnicas de optimización entera mixta. Las siguientes secciones integrarán estas variables en la función objetivo y en las restricciones de balance de flujo, es decir, en las condiciones que garantizan:

1. que la demanda en cada localidad \(j \in \mathcal{J}\) sea satisfecha y
2. que el flujo total enviado desde un almacén \(i \in \mathcal{I}\) no exceda su inventario disponible.

5.2.4 Parámetros del sistema: costos fijos, unitarios, demanda y capacidades

En la formulación matemática de un problema de optimización, los parámetros constituyen los datos exógenos que estructuran el espacio factible y la función objetivo como señala Bertsekas (1999). Su correcta especificación es requisito previo a la definición de variables y restricciones; por tanto, deben presentarse con su dominio y unidades explícitas (práctica recomendada por Lewis (2003)). En el problema integrado de localización e inventario consideramos, de modo explícito, las cuatro familias de parámetros (costos fijos de apertura, costos unitarios de transporte, demanda esperada y capacidad de almacenamiento) siguientes.

5.2.4.1 Costos fijos de apertura

Para cada \(i\in\mathcal{I}\) definimos \[ f_i \in \mathbb{R}_{+} \] como el costo fijo de apertura del almacén en la localización \(i\). En la formulación base del modelo, presentada en la Ecuación 5.3, este término contribuye a la función objetivo mediante el producto lineal \(f_i x_i\), donde \(x_i \in \{0,1\}\) es la variable binaria. Se exige
\[ f_i \ge 0, \qquad \forall i \in \mathcal{I}. \]

Observación práctica: cuando el costo de apertura implica economías o penalizaciones no triviales (por ejemplo, coste creciente con la capacidad instalada o costes discretos adicionales por remoción), \(f_i\) puede modelarse como función \(f_i(x_i,s_i)\); sin embargo, para la formulación base se adopta linealidad en \(x_i\) y se externalizan las no linealidades como puede verse en el trabajo de (Shapiro, Dentcheva, y Ruszczyński (2021)).

5.2.4.2 Costos unitarios de transporte

Para cada par \((i,j)\in\mathcal{I}\times\mathcal{J}\) definimos \[ c_{ij}\in\mathbb{R}_{+}, \] el costo unitario de transportar una unidad desde la instalación \(i\) hasta la localidad de demanda \(j\). Requerimos \[ c_{ij}\ge 0,\quad \forall i,j, \] y denotamos la matriz \(C:=[c_{ij}]_{i,j}\in\mathbb{R}_+^{m\times n}\). En contextos humanitarios \(c_{ij}\) incorpora distancia, tiempo de acceso y penalizaciones por rutas inseguras; su estimación suele derivar de información geoespacial y modelos de capacidad vial, los cuales constituyen insumos fundamentales en los modelos de localización descritos por Daskin (2013).

5.2.4.3 Demanda esperada

Para cada \(j\in\mathcal{J}\), sea \[ d_j\in\mathbb{R}_{+}-\{0\} \] la demanda esperada en la localidad \(j\) durante el horizonte considerado. Adicionalmente definimos el vector \(d=(d_j)_{j\in\mathcal{J}}\). En la formulación determinista de referencia usamos \(d_j\) como estimador puntual (p. ej. esperanza), con la advertencia explícita de que su uso directo puede producir soluciones frágiles en colas de distribución como lo argumenta Snyder (2006).

Por notación:

\[ d_j>0,\quad \forall j,\qquad d\in(\mathbb{R}_{+}-{0})^n. \]

5.2.4.4 Capacidades de almacenamiento

Para cada \(i\in\mathcal{I}\) definimos la capacidad máxima \(s_i^{\max}\) mediante \[ s_i^{\max}\in\mathbb{R}_{+}\cup\{+\infty\}. \]

La restricción de capacidad se escribe, asociada a la lógica de activación \(x_i\):

\[ \sum_{j\in\mathcal{J}} y_{ij} \le s_i^{\max} x_i,\qquad \forall i\in\mathcal{I}. \tag{5.5}\]

En ausencia de un tope operativo se toma \(s_i^{\max}=+\infty\) (modelo no capacitado); en práctica real \(s_i^{\max}\) suele venir de disponibilidad física, limitaciones regulatorias o logísticas.

5.2.4.5 Propiedades y observaciones formales

1. Dominios y no ambigüedad: Todos los parámetros deben venir acompañados de su dominio y unidades, lo cual evita ambigüedades en pruebas de existencia, estabilidad numérica y escalado de variables. La importancia de estas precisiones se refleja en la literatura sobre optimización numérica, como señalan Lewis y Overton (2013), donde la estabilidad depende críticamente de la correcta definición de las variables.

2. Dependencia discontinua de la solución óptima respecto a los parámetros:
   Pequeñas variaciones en los parámetros del modelo, como los costos fijos \(f_i\), los costos de transporte \(c_{ij}\), la demanda \(d_j\) o la capacidad máxima \(s_i^{\max}\), pueden inducir cambios abruptos en la configuración óptima de apertura de almacenes \(x^*\).

Dado que el modelo se basa en estimaciones de parámetros sujetos a incertidumbre (por ejemplo, la demanda esperada \(d_j = \mathbb{E}[D_j]\)), es esencial evaluar la solución obtenida bajo múltiples escenarios plausibles y analizar su sensibilidad a perturbaciones en los datos. Este tipo de evaluación permite identificar soluciones no solo óptimas, sino también estables y robustas ante errores en las estimaciones, un aspecto crítico en contextos humanitarios donde la calidad de la información es limitada (Snyder (2006); Shapiro, Dentcheva, y Ruszczyński (2021)).

3. Elección de \(M\) en big-M: Si se usa la formulación \(y_{ij}\le M x_i\) para acoplar variables (versus la formulación con \(s_i^{\max}\)), se recomienda elegir \(M\) igual a una cota realista (ej. \(\sum_j d_j\)) para evitar degradación numérica; empero, la formulación (Ecuación 5.5) es preferible por su interpretación física y por estrechar el dominio factible.

5.2.4.6 Ejemplo numérico (verificación de factibilidad y cálculo de costo)

Tomemos la instancia didáctica ya utilizada en la Sección 5.2.3:

• \(\mathcal{I}=\{1,2,3\}\), \(\mathcal{J}=\{1,2,3,4\}\).
• Costos fijos (miles unidades monetarias): \(f=(300,400,250)\).
• Matriz \(C=[c_{ij}]\) (unidades monetarias/unidad):

\[ C= \begin{bmatrix} 8 & 20 & 15 & 25 \\ 12 & 18 & 10 & 30 \\ 20 & 10 & 12 & 18 \end{bmatrix}. \]

• Demanda: \(d=(40,20,40,25)\) (unidades).
• Capacidades: \(s^{\max}=(100,80,90)\).
• Consideramos la decisión \(x=(1,0,1)\) y la asignación \[ \begin{aligned} &y_{11}=30,\; y_{12}=20,\; y_{13}=0,\; y_{14}=0,\\ &y_{21}=y_{22}=y_{23}=y_{24}=0,\\ &y_{31}=10,\; y_{32}=0,\; y_{33}=40,\; y_{34}=25. \end{aligned} \]

Paso 1 — Comprobación de que se cumple la restricción de capacidades (Ecuación 5.5):

• Para \(i=1\): \[ \sum_j y_{1j}=30+20+0+0=50 \le s_1^{\max} x_1 = 100\cdot 1 = 100\quad\checkmark. \]
• Para \(i=2\): \[ \sum_j y_{2j}=0 \le 80\cdot 0 = 0\quad\checkmark. \]
• Para \(i=3\): \[ \sum_j y_{3j}=10+0+40+25=75 \le 90\cdot 1 = 90\quad\checkmark. \]

Paso 2 — Comprobación de que se cumple la cobertura de la demanda:

• \(j=1\): \(y_{11}+y_{31}=30+10=40 = d_1\),
• \(j=2\): \(y_{12}=20 = d_2\),
• \(j=3\): \(y_{33}=40 = d_3\),
• \(j=4\): \(y_{34}=25 = d_4\).

Cobertura completa lo que implica que es factible.

Paso 3 — Cálculo del costo total

La función de costo (determinista, sin mantenimiento de inventario explícito) se toma como

\[ Z(x,y)=\sum_{i\in\mathcal{I}} f_i x_i + \sum_{i\in\mathcal{I}}\sum_{j\in\mathcal{J}} c_{ij} y_{ij}. \]

Sustituyendo:

• Término fijo: \(f_1 x_1 + f_3 x_3 = 300 + 250 = 550\) (miles unidades monetarias ).
• Transporte (unidades monetarias): calcular cada contribución \[ \begin{aligned} &8\cdot 30 = 240,\quad 20\cdot 20 = 400,\quad 20\cdot 10 = 200,\\ &12\cdot 40 = 480,\quad 18\cdot 25 = 450. \end{aligned} \] Suma transporte = \(240+400+200+480+450 = 1770\) unidades monetarias.

Total (homogeneizando unidades a miles unidades monetarias): \[ Z = 550\ (\text{miles}) + 1.770\ (\text{miles}) = 2.320\ \text{miles unidades monetarias}. \]

Interpretación: la solución es factible y el costo cuantificado; variaciones en \(d\), \(c_{ij}\) o \(f_i\) deben reevaluarse mediante análisis de sensibilidad y, en contextos reales, mediante formulaciones estocásticas o robustas, como se discute en Snyder (2006) para problemas de localización y en Shapiro, Dentcheva, y Ruszczyński (2021) para la teoría de optimización estocástica.

• En el enfoque estocástico, los parámetros inciertos (como la demanda) se modelan como variables aleatorias \(\tilde d_j\) con distribución de probabilidad estimada a partir de datos históricos, y se optimiza el costo esperado (o una medida de riesgo, como el CVaR).
  
• En el enfoque robusto, se define un conjunto de incertidumbre \(\mathcal{U}\) por ejemplo, un intervalo \(d_j \in [\underline{d}_j, \overline{d}_j]\) o un conjunto de presupuesto \(\sum_j \frac{|d_j - \bar d_j|}{\hat d_j} \leq \Gamma\) que contiene todos los valores plausibles de los parámetros, y se busca una solución que tenga buen desempeño incluso en el peor caso dentro de \(mathcal{U}\).

La especificación explícita de \(f_i\), \(c_{ij}\), \(d_j\) y \(s_i^{\max}\) permite no solo la construcción del problema determinista base, sino también su extensión a:

• Modelos estocásticos, donde \(d_j\) se reemplaza por una variable aleatoria \(\tilde d_j\);
  
• Modelos robustos, donde se define un conjunto de incertidumbre \(\mathcal{U}\) para \(d_j\) y \(c_{ij}\), cuyos límites se basan en datos históricos, escenarios extremos o criterios de política (por ejemplo, “la demanda no excederá el doble de su valor promedio”).

La práctica recomendada por Lewis (2003) y Shapiro, Dentcheva, y Ruszczyński (2021), directamente relacionada con la robustez en optimización, consiste en:

1. documentar fuentes y unidades de cada parámetro;
   
2. fijar cotas realistas para \(s_i^{\max}\) o \(M\) (esenciales para definir \(\mathcal{U}\) y evitar degradación numérica); y
   
3. efectuar pruebas de sensibilidad sistemáticas antes de adoptar políticamente cualquier solución.

5.2.5 Definición formal del espacio factible \(\mathcal{X}\)

En optimización matemática, la estructura del conjunto factible determina en gran medida la naturaleza del problema, su complejidad computacional y la aplicabilidad de métodos de solución. Para el problema integrado de localización e inventario, el espacio factible es un subconjunto híbrido puesto que es producto cartesiano entre un espacio discreto y uno continuo. A continuación se define formalmente este conjunto y se analizan sus propiedades estructurales clave.

5.2.5.1 Definición (Espacio factible).

Dado el conjunto de almacenes potenciales \(\mathcal{I}\), el conjunto de localidades de demanda \(\mathcal{J}\), y los parámetros exógenos \(d_j > 0\), \(s_i^{\max} \in \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}\), y una constante \(M > 0\) suficientemente grande (por ejemplo, \(M = \sum_{j \in \mathcal{J}} d_j\)), el espacio factible del modelo se define como:

\[ \mathcal{X} := \left\{ (x, y) \in \{0,1\}^m \times \mathbb{R}_+^{m \times n} \ \middle|\ \begin{aligned} &\text{(i)}\quad \sum_{i \in \mathcal{I}} y_{ij} \ge d_j, && \forall j \in \mathcal{J}, \\ &\text{(ii)}\quad \sum_{j \in \mathcal{J}} y_{ij} \le s_i^{\max} x_i, && \forall i \in \mathcal{I}, \\ &\text{(iii)}\quad y_{ij} \le M x_i, && \forall (i,j) \in \mathcal{I}\times\mathcal{J} \end{aligned} \right\}. \]

Las tres familias de restricciones tienen interpretaciones operativas precisas:

• (i) Cobertura de demanda: cada localidad \(j\) debe recibir al menos su demanda esperada \(d_j\).
• (ii) Capacidad condicionada: el flujo total saliente de la instalación \(i\) no puede exceder su capacidad máxima si está abierta (\(x_i = 1\)).
  
• (iii) Activación lógica fuerte: garantiza \(y_{ij}=0\) cuando \(x_i=0\), fortaleciendo las relajaciones lineales.

Observación 2.2.4.1.
Si \(s_i^{\max} = +\infty\), la restricción (ii) se sustituye simplemente por \(y_{ij} \le M x_i\). La estructura analítica permanece intacta.

5.2.6 Propiedades estructurales del espacio \(\mathcal{X}\)

5.2.6.1 Proposición (No convexidad y no conexidad).

El conjunto \(\mathcal{X}\) es no convexo y, en general, no conexo en la topología estándar de \(\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^{m\times n}\).

Demostración.
Considérese \(m \ge 2\). Sean:

• \((x^{(1)}, y^{(1)})\) con \(x^{(1)} = e_1\) y \(y^{(1)}_{1j} = d_j\),
• \((x^{(2)}, y^{(2)})\) con \(x^{(2)} = e_2\) y \(y^{(2)}_{2j} = d_j\).

Ambos puntos son factibles. Su media:

\[ (\bar{x}, \bar{y}) = \tfrac{1}{2}(x^{(1)}, y^{(1)}) + \tfrac{1}{2}(x^{(2)}, y^{(2)}) \]

tiene \(\bar{x}_1 = \bar{x}_2 = 1/2 \notin \{0,1\}\), por lo que no pertenece a \(\mathcal{X}\).
Además, no existe un camino continuo dentro de \(\mathcal{X}\) que conecte ambos puntos, ya que cualquier camino debe atravesar valores fraccionarios de \(x\). ∎

5.2.6.2 Proposición (Descomposición en secciones convexas).

\[ \mathcal{X} = \bigcup_{\bar{x} \in \{0,1\}^m} \left( \{\bar{x}\} \times \mathcal{Y}(\bar{x}) \right), \]

donde

\[ \mathcal{Y}(\bar{x}) := \left\{ y \in \mathbb{R}_+^{m \times n} \ \middle|\ \begin{aligned} &\sum_i y_{ij} \ge d_j,\ \forall j, \\ &\sum_j y_{ij} \le s_i^{\max} \bar{x}_i,\ \forall i \end{aligned} \right\} \]

es un poliedro convexo (posiblemente vacío).

Demostración.
Para \(\bar{x}\) fijo, las restricciones que definen \(\mathcal{Y}(\bar{x})\) son lineales en \(y\), por lo que el conjunto es convexo y cerrado.
La unión es disjunta porque cada sección responde a un valor distinto de \(x\). ∎

Esta descomposición motiva algoritmos híbridos: resolver un subproblema convexo para cada \(\bar{x}\) y usar técnicas combinatorias para explorar \(\{0,1\}^m\).

5.2.6.3 Ejemplo ilustrativo: construcción explícita de \(\mathcal{X}\)

Sea:

• \(\mathcal{I} = \{1,2\}\)
• \(\mathcal{J} = \{1\}\)
  
• \(d_1 = 10\)
  
• \(s_1^{\max} = s_2^{\max} = 15\)
  
• \(M = 10\)

Entonces:

1. \(x=(0,0)\):
   \(y_{11}=y_{21}=0\), pero exige \(y_{11}+y_{21} \ge 10\) ⇒ infeasible.

2. \(x=(1,0)\):
   \(y_{21}=0\), \(y_{11}\in[10,15]\).

3. \(x=(0,1)\):
   \(y_{11}=0\), \(y_{21}\in[10,15]\).

4. \(x=(1,1)\):
   \(y_{11}+y_{21}\ge 10\), con \(y_{ij}\le 15\).
   Es un poliedro factible en dimensión 2.

Este ejemplo muestra que \(\mathcal{X}\) está formado por componentes disjuntas: dos segmentos y un poliedro 2D.

El conjunto \(\mathcal{X}\) posee una estructura combinatoria compleja: es no convexo y no conexo, pero admite una descomposición en secciones convexas. Su correcta caracterización es esencial para asegurar consistencia del modelo, existencia de solución y diseño de algoritmos eficientes. En las siguientes secciones, este espacio actuará como dominio de la función de costo total.

5.2.7 Función objetivo general en problemas de localización–inventario

La función objetivo de un modelo de optimización encapsula el criterio de desempeño que se busca minimizar o maximizar. En problemas de localización–inventario para logística humanitaria, este criterio suele ser una medida económica agregada que refleja los costos totales del sistema, ponderando compromisos entre infraestructura fija, operación logística y servicio a la demanda. A continuación, se define formalmente la función objetivo general, se descompone en sus componentes estructurales y se analizan sus propiedades matemáticas.

5.2.7.1 Definición (Función objetivo total)

Dado el espacio factible \(\mathcal{X}\) definido previamente y los parámetros \(f_i \ge 0\), \(c_{ij} \ge 0\), la función objetivo total \(Z: \mathcal{X} \to \mathbb{R}\) se define como:

\[ Z(x, y) := \underbrace{\sum_{i \in \mathcal{I}} f_i x_i}_{\text{(A) Costo fijo de apertura}} + \underbrace{\sum_{i \in \mathcal{I}} \sum_{j \in \mathcal{J}} c_{ij} y_{ij}}_{\text{(B) Costo de transporte}} + \underbrace{\sum_{i \in \mathcal{I}} h_i \left( \sum_{j \in \mathcal{J}} y_{ij} \right)}_{\text{(C) Costo de inventario}}. \tag{5.6}\]

Aquí, \(h_i \ge 0\) es el costo unitario de mantenimiento de inventario en la instalación \(i\). El término modela el costo asociado al volumen total preposicionado (equivalente al total despachado en el modelo determinista base).

La función \(Z\) es afín en \(y\) para \(x\) fijo, y lineal en \(x\) cuando \(y\) es tratado como variable libre. Sin embargo, en el dominio restringido \(\mathcal{X}\), la interacción discontinua entre ambas familias de variables induce una estructura global no lineal.

Observación (Interpretación económica de los términos de (Ecuación 5.6))
- (A): decisiones estratégicas de largo plazo.
- (B): costos operativos de corto plazo.
- (C): costo de oportunidad del inventario preposicionado.
En logística humanitaria, \(f_i\), \(c_{ij}\) y \(h_i\) pueden incorporar factores no monetarios (tiempo, riesgo, deterioro, ética), siempre que estén normalizados en una métrica común.

5.2.8 Propiedades analíticas de \(Z\)

5.2.8.1 Proposición (Continuidad y acotación inferior)

La función \(Z : \mathcal{X} \to \mathbb{R}\) es continua en la topología relativa de \(\mathcal{X}\) y está acotada inferiormente por cero.

Demostración.
Como \(\mathcal{X} \subset \{0,1\}^m \times \mathbb{R}_+^{m \times n}\), su topología relativa es la unión disjunta de secciones del tipo \(\{\bar{x}\} \times \mathcal{Y}(\bar{x})\). En cada sección, la función \(y \mapsto Z(\bar{x}, y)\) es afín, y por tanto continua. Dado que todos los coeficientes \(f_i\), \(c_{ij}\), \(h_i\) son no negativos, se tiene \(Z(x, y) \ge 0\) para todo punto factible. ∎

5.2.8.2 Proposición (Coercividad condicional y existencia de solución)

Si \(\mathcal{X} \ne \emptyset\), entonces el problema

\[ \min_{(x, y) \in \mathcal{X}} Z(x, y) \]

admite solución óptima.

Demostración.
Como el conjunto discreto \(\{0,1\}^m\) es finito, la minimización puede escribirse como:

\[ \min_{\bar{x} \in \{0,1\}^m} \left\{ \sum_i f_i \bar{x}_i + \min_{y \in \mathcal{Y}(\bar{x})} \left( \sum_{i,j} (c_{ij} + h_i)\, y_{ij} \right) \right\}. \]

Para cada \(\bar{x}\) tal que \(\mathcal{Y}(\bar{x}) \ne \emptyset\), el subproblema interno es un problema de programación lineal definido sobre un poliedro no vacío y acotado (ya que existen cotas inferiores por demanda y los coeficientes son no negativos). Por el teorema fundamental de la programación lineal, el subproblema posee solución. Como el número de posibles \(\bar{x}\) es finito, el mínimo global existe. ∎

5.2.8.3 Ejemplo ilustrativo: evaluación explícita de \(Z(x, y)\)

Considérese el escenario:

• \(\mathcal{I} = \{1,2\}\),
  
• \(\mathcal{J} = \{1\}\),
  
• \(d_1 = 10\),
  
• \(f_1 = 300\), \(f_2 = 400\),
  
• \(c_{11} = 10\), \(c_{21} = 12\),
  
• \(h_1 = 3\), \(h_2 = 2\).

Caso 1: \(x = (1, 0)\), \(y_{11} = 12\), \(y_{21} = 0\)

\[ \begin{aligned} Z(x,y) &= f_1 x_1 + f_2 x_2 + (c_{11}+h_1)\,y_{11} + (c_{21}+h_2)\,y_{21} \\ &= 300 + 0 + (10+3)\cdot 12 + (12+2)\cdot 0 \\ &= 300 + 156 = 456. \end{aligned} \]

Caso 2: \(x = (0,1)\), \(y_{21} = 10\)

\[ Z = 0 + 400 + (12+2)\cdot 10 = 540. \]

Caso 3: \(x = (1,1)\), \(y_{11} = 6\), \(y_{21} = 4\)

\[ Z = 300 + 400 + 13\cdot 6 + 14\cdot 4 = 834. \]

El valor mínimo se obtiene abriendo únicamente la instalación 1, con inventario despachado \(12\) (mayor que la demanda), lo cual es admisible y económicamente óptimo bajo estos parámetros.

La función objetivo \(Z(x, y)\) formaliza el análisis de compromisos entre inversión en infraestructura, costos operativos e inventario preposicionado. Su estructura afín por partes y la no convexidad del dominio \(\mathcal{X}\) definen un Mixed Integer Linear Programming (MILP) clásico, aunque constituyen la base teórica necesaria para extensiones no lineales, robustas o estocásticas. La existencia garantizada de al menos una solución óptima justifica el enfoque algorítmico planteado en el Capítulo siguiente.

5.3 Modelo clásico de lote económico (EOQ): bases y limitaciones

El modelo de lote económico (Economic Order Quantity, EOQ) constituye uno de los pilares fundamentales de la teoría clásica de control de inventarios. Introducido originalmente por Harris (1913) y posteriormente popularizado por Wilson (1934), el EOQ proporciona una formulación analítica para determinar el tamaño óptimo de pedido que minimiza los costos totales de inventario bajo un conjunto restrictivo de supuestos deterministas. A pesar de su simplicidad, el modelo ha servido como punto de partida para numerosas extensiones en contextos más realistas. En esta sección, se presentan rigurosamente los supuestos deterministas subyacentes al modelo EOQ, los cuales definen su dominio de aplicabilidad y, simultáneamente, evidencian sus limitaciones en entornos caracterizados por incertidumbre, como los propios de la logística humanitaria.

5.3.1 Supuestos deterministas del EOQ

El modelo EOQ se fundamenta en los siguientes supuestos deterministas, los cuales garantizan la existencia de una solución analítica cerrada y convexa:

1. Demanda constante y conocida: La tasa de demanda \(d > 0\) (unidades por unidad de tiempo) es fija, continua y perfectamente previsible a lo largo del horizonte de planificación. Esto implica que no existe variabilidad ni estacionalidad en la demanda.

2. Tiempo de reposición nulo: El pedido realizado se recibe de forma inmediata; es decir, el tiempo de entrega (lead time) es igual a cero. En consecuencia, no se consideran inventarios en tránsito ni la posibilidad de desabastecimiento durante el tiempo de espera.

3. Costos invariantes en el tiempo:

   • El costo de pedido \(K > 0\) (moneda/pedido) es fijo e independiente de la cantidad solicitada.
     
   • El costo unitario de adquisición \(c > 0\) (moneda/unidad) es constante y no sujeto a descuentos por volumen.
     
   • El costo unitario de mantenimiento de inventario \(h > 0\) (moneda/unidad/tiempo) es lineal y proporcional al nivel de inventario promedio.

4. Horizonte de planificación infinito: Se asume un horizonte temporal ilimitado y estacionario, lo que permite analizar el sistema en régimen permanente. Bajo esta condición, el patrón de inventario se repite cíclicamente con periodo fijo.

5. No se permiten faltantes: Todo el volumen demandado debe ser satisfecho inmediatamente desde el inventario disponible. Por tanto, el nivel de inventario nunca puede ser negativo.

6. Reposición instantánea y lote único: Cada vez que el inventario llega a cero, se emite un pedido de tamaño fijo \(Q > 0\), el cual es recibido íntegramente y de forma inmediata, restableciendo el inventario al nivel \(Q\).

Dado este conjunto de hipótesis, la evolución del inventario \(x(t)\) en el tiempo sigue una trayectoria determinista en forma de diente de sierra: decrece linealmente desde \(Q\) hasta \(0\) a una tasa constante \(d\), y luego se reabastece instantáneamente a \(Q\). El periodo del ciclo es entonces \(T = Q/d\). Estos supuestos, si bien facilitan el análisis, imponen una estructura rígida que limita severamente la aplicabilidad del modelo en contextos donde la demanda es estocástica, los tiempos de entrega son inciertos o los faltantes son inevitables, situaciones comunes en operaciones humanitarias.

La formulación matemática del modelo EOQ se deriva directamente de estos supuestos, como se detalla en la sección siguiente. No obstante, ya en este punto es pertinente señalar que la idealización determinista del EOQ contrasta fuertemente con las condiciones operativas en logística humanitaria, donde la incertidumbre en la demanda y la criticidad de los faltantes exigen modelos más robustos y flexibles.

5.3.2 Derivación analítica del tamaño óptimo de pedido

Bajo los supuestos deterministas descritos en la sección anterior, el problema del lote económico consiste en determinar el tamaño de pedido \(Q > 0\) que minimiza el costo total promedio por unidad de tiempo. La formulación se basa en la descomposición del costo total en sus componentes: costo fijo de emisión de pedidos y costo variable de mantenimiento de inventario.

Dado un ciclo de longitud \(T = Q/d\), el número de pedidos emitidos por unidad de tiempo es \(d/Q\). Por tanto, el costo promedio de pedido por unidad de tiempo es: \[ C_{\text{pedido}}(Q) = K \cdot \frac{d}{Q}. \]

Por otro lado, la evolución del inventario \(x(t)\) en cada ciclo es lineal y decreciente, comenzando en \(Q\) y finalizando en \(0\). El inventario promedio en el ciclo es: \[ \bar{x} = \frac{1}{T} \int_0^T x(t) \, dt = \frac{1}{Q/d} \int_0^{Q/d} (Q - d t) \, dt = \frac{Q}{2}. \] En consecuencia, el costo promedio de mantenimiento por unidad de tiempo es: \[ C_{\text{mant}}(Q) = h \cdot \frac{Q}{2}. \]

El costo total promedio por unidad de tiempo, denotado \(C(Q)\), se obtiene sumando ambos componentes: \[ C(Q) = \frac{K d}{Q} + \frac{h Q}{2}, \quad Q > 0. \] Obsérvese que el costo unitario de adquisición \(c\) no aparece en esta expresión, ya que bajo los supuestos de demanda constante y horizonte infinito, el costo de compra total por unidad de tiempo es \(c d\), independiente de \(Q\), y por tanto no influye en la optimización.

El problema de optimización asociado al modelo EOQ se formula como: \[ \min_{Q > 0} \; C(Q) = \frac{K d}{Q} + \frac{h Q}{2}. \]

La función objetivo \(C(Q)\) es estrictamente convexa en \(\mathbb{R}_{>0}\), ya que su segunda derivada es positiva: \[ C'(Q) = -\frac{K d}{Q^2} + \frac{h}{2}, \quad C''(Q) = \frac{2 K d}{Q^3} > 0 \quad \forall Q > 0. \] Por lo tanto, el mínimo global se alcanza en el único punto estacionario que satisface \(C'(Q) = 0\). Resolviendo esta condición de primer orden: \[ -\frac{K d}{Q^2} + \frac{h}{2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{K d}{Q^2} = \frac{h}{2} \quad \Longrightarrow \quad Q^2 = \frac{2 K d}{h} \quad \Longrightarrow \quad Q^* = \sqrt{\frac{2 K d}{h}}. \] Este valor \(Q^*\) se conoce como la cantidad económica de pedido (EOQ, por sus siglas en inglés).

El costo total mínimo asociado a \(Q^*\) es: \[ C(Q^*) = \frac{K d}{\sqrt{2 K d / h}} + \frac{h}{2} \sqrt{\frac{2 K d}{h}} = \sqrt{2 K d h}. \] Además, en el óptimo, los costos de pedido y mantenimiento son iguales: \[ \frac{K d}{Q^*} = \frac{h Q^*}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 K d h}, \] lo cual refleja un equilibrio estructural entre los dos componentes del costo, una característica distintiva del modelo EOQ.

5.3.2.1 Ejemplo numérico ilustrativo

Consideremos un producto con los siguientes parámetros: demanda anual \(d = 1200\) unidades/año, costo fijo de pedido \(K = 100\) unidades monetarias/pedido, y costo unitario de mantenimiento \(h = 5\) unidades monetarias/unidad/año. El tamaño óptimo de pedido es: \[ Q^* = \sqrt{\frac{2 \cdot 100 \cdot 1200}{5}} = \sqrt{48\,000} \approx 219.09 \text{ unidades}. \] El número óptimo de pedidos anuales es \(d / Q^* \approx 5.48\), y el costo total anual mínimo es: \[ C(Q^*) = \sqrt{2 \cdot 100 \cdot 1200 \cdot 5} = \sqrt{1\,200\,000} \approx 1095.45 \text{ unidades monetarias/año}. \] Este ejemplo, aunque sencillo, ilustra la sensibilidad del modelo a los parámetros de entrada y su dependencia crítica en la exactitud de las estimaciones de \(d\), \(K\) y \(h\) un aspecto que se vuelve problemático cuando dichos parámetros son inciertos, como ocurre en entornos humanitarios.

La derivación presentada demuestra que, bajo supuestos deterministas estrictos, el modelo EOQ admite una solución cerrada con propiedades analíticas claras. Sin embargo, esta elegancia matemática se ve comprometida en contextos donde dichos supuestos no se cumplen, motivando la necesidad de extensiones robustas o estocásticas.

5.3.3 Inadecuación en contextos humanitarios: demanda incierta, faltantes costosos

El modelo EOQ, aunque elegante desde el punto de vista analítico, se fundamenta en una representación idealizada del entorno operativo que resulta profundamente inadecuada para aplicaciones en logística humanitaria. En este contexto, dos características críticas invalidan los supuestos centrales del EOQ: la incertidumbre inherente en la demanda y el alto costo, frecuentemente no monetario de los faltantes. A continuación, se analizan estas limitaciones y se ilustra, mediante un contraste formal.

5.3.3.1 Incertidumbre en la demanda

En contraste con el supuesto EOQ de demanda constante y conocida, las operaciones humanitarias se caracterizan por una demanda altamente estocástica, con alta varianza y asimetría. Tras un desastre (sismo, inundación, conflicto, etc.), la magnitud, distribución geográfica y composición de la necesidad humanitaria son desconocidas a priori y evolucionan dinámicamente con el tiempo. Modelar la demanda como una variable aleatoria \(\tilde{D}\), con función de distribución acumulada \(F_D(\cdot)\) y densidad \(f_D(\cdot)\) (cuando existe), es no solo razonable, sino necesario.

Bajo incertidumbre, el costo esperado de inventario ya no se reduce a la expresión determinista \(C(Q)\). En lugar de ello, si se permite la posibilidad de faltantes (insatisfecho inevitable en la práctica), el costo esperado por ciclo depende de la función de pérdida: \[ \mathbb{E}[\text{Faltante}] = \mathbb{E}[(\tilde{D} - Q)^+] = \int_Q^\infty (d - Q) f_D(d) \, dd, \] \[ \mathbb{E}[\text{Inventario residual}] = \mathbb{E}[(Q - \tilde{D})^+] = \int_0^Q (Q - d) f_D(d) \, dd, \] donde \((\cdot)^+ = \max\{0, \cdot\}\). Si se introduce un costo unitario de faltante \(p > 0\) (penalización por unidad no satisfecha), el costo esperado por ciclo es: \[ \mathcal{C}(Q) = K + c \, \mathbb{E}[\tilde{D}] + h \, \mathbb{E}[(Q - \tilde{D})^+] + p \, \mathbb{E}[(\tilde{D} - Q)^+]. \] Minimizar \(\mathcal{C}(Q)\) conduce al modelo clásico de newsvendor (o periódico), cuya solución óptima denotada por \(Q^{\text{NV}}\) satisface: \[ F_D(Q^{\text{NV}}) = \frac{p - c}{p + h - c} \quad \text{(asumiendo } p > c\text{)}. \] Este resultado contrasta radicalmente con el EOQ: la decisión óptima depende ahora de la distribución completa de la demanda, no solo de su media, y el tamaño de pedido se determina por un balance de margen de utilidad frente a riesgo de sobreinventario, no por un equilibrio entre costos fijos y variables.

5.3.3.2 Costo no lineal y no monetario de los faltantes

En contextos comerciales, el costo de faltante \(p\) suele interpretarse como una pérdida de ganancia marginal o un costo de reorden. En logística humanitaria, sin embargo, los faltantes pueden implicar consecuencias humanas severas: incremento en la morbilidad, mortalidad evitable, deterioro de la dignidad humana o escalada de tensiones sociales. Estos efectos no son fácilmente cuantificables en unidades monetarias y, más aún, exhiben una estructura no lineal y convexa: la penalización marginal por cada unidad adicional de faltante crece con el nivel de insatisfacción.

Por ejemplo, si se modela el impacto humanitario mediante una función de penalización convexa \(\phi(\cdot)\), donde \(\phi: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+\) es creciente y convexa (e.g., \(\phi(z) = z^\alpha\) con \(\alpha > 1\)), entonces el costo esperado asociado al faltante es: \[ \mathbb{E}[\phi((\tilde{D} - Q)^+)]. \] Esta formulación rompe la linealidad que subyace tanto al EOQ como al modelo de newsvendor, y da lugar a problemas de optimización no lineales y, en general, no convexos, que requieren técnicas avanzadas de análisis estocástico o teoría del riesgo.

5.3.3.3 Ejemplo ilustrativo: EOQ vs. realidad humanitaria

Supongamos que un organismo humanitario debe pre-posicionar kits de emergencia antes de la temporada de huracanes en una región costera. Se estima que la demanda \(\tilde{D}\) sigue una distribución log-normal con media \(\mu_D = 1200\) y desviación estándar \(\sigma_D = 600\) (coeficiente de variación = 0.5). Si se aplicara ingenuamente el EOQ con \(d = \mu_D = 1200\), \(K = 100~\text{unidades monetarias}\), \(h = 5~\text{unidades monetarias/unidad/año}\), se obtendría: \[ Q^{\text{EOQ}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100 \cdot 1200}{5}} \approx 219 \text{ unidades}. \] Sin embargo, la probabilidad de faltante bajo este nivel de inventario es: \[ \mathbb{P}(\tilde{D} > 219) \approx 1 - F_D(219) \approx 0.97, \] es decir, el 97 % de los escenarios conducen a faltantes severos. Si, en cambio, se adopta un enfoque de newsvendor con un costo de faltante conservador \(p = 100~\text{unidades monetarias/unidad}\) (reflejando impacto indirecto), se obtiene: \[ F_D(Q^{\text{NV}}) = \frac{p}{p + h} \approx \frac{100}{105} \approx 0.952, \] lo que implica \(Q^{\text{NV}} \approx F_D^{-1}(0.952) \approx 2500\) unidades—más de 11 veces el nivel EOQ. La brecha entre ambas decisiones subraya la inadecuación del modelo determinista en entornos de alta incertidumbre y consecuencias asimétricas.

En resumen, el modelo EOQ ignora tanto la variabilidad como la asimetría de costos inherentes a la logística humanitaria. Su aplicación directa en tales contextos no solo es técnicamente incorrecta desde el punto de vista de la teoría de decisiones bajo incertidumbre, sino que puede comprometer gravemente la efectividad de la respuesta humanitaria. Esta inadecuación motiva formalmente la necesidad de modelos que incorporen estructuras de costo no lineales, medidas de riesgo coherentes y penalizaciones asimétricas, como se desarrollará en la sección siguiente.

5.3.4 Motivación para una extensión no lineal con penalización y riesgo

La inadecuación del modelo EOQ en contextos humanitarios, analizada en la sección anterior, surge fundamentalmente de dos limitaciones estructurales: (i) su tratamiento determinista de la demanda y (ii) su suposición de costos lineales y simétricos.

Para abordar estos vacíos, es necesario formular un modelo que:

• incorpore explícitamente la incertidumbre en la demanda,
  
• represente de manera rigurosa el alto y no lineal costo de los faltantes, y
  
• considere medidas de riesgo coherentes que reflejen la aversión a eventos extremos, característica crítica en operaciones humanitarias.

Esta sección motiva la necesidad de una extensión no lineal del modelo clásico, introduciendo una formulación estocástica con penalización convexa y una métrica de riesgo más allá del valor esperado.

5.3.4.1 Formulación estocástica con penalización no lineal

Sea \(\tilde{D}\) una variable aleatoria no negativa que representa la demanda que se observa tras un desastre, definida sobre un espacio de probabilidad \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\). Denotemos por \(Q \geq 0\) la cantidad de inventario preposicionado (decisión de primer estadio). El costo total asociado a \(Q\) se descompone en:

• Costo fijo de preparación: \(K\) (independiente de \(Q\)),
  
• Costo de adquisición: \(c Q\),
  
• Costo de mantenimiento esperado: \(h \, \mathbb{E}[(Q - \tilde{D})^+]\),
  
• Penalización esperada por faltantes, modelada mediante una función convexa \(\phi: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+\), estrictamente creciente, con \(\phi(0) = 0\) y \(\phi \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}_{>0})\).

La función \(\phi(\cdot)\) captura la no linealidad del impacto humanitario: por ejemplo, \(\phi(z) = z^\alpha\) con \(\alpha > 1\) refleja que la marginalidad del daño crece con la magnitud del faltante. El costo esperado total es entonces: \[ \mathcal{C}(Q) = K + c Q + h \, \mathbb{E}[(Q - \tilde{D})^+] + \mathbb{E}[\phi((\tilde{D} - Q)^+)]. \] El problema de optimización se plantea como: \[ \min_{Q \geq 0} \; \mathcal{C}(Q). \] Bajo las hipótesis de convexidad de \(\phi\) y continuidad de la distribución de \(\tilde{D}\), la función \(\mathcal{C}(Q)\) es estrictamente convexa (véase Shapiro et al., 2021, Lectures on Stochastic Programming), garantizando la existencia y unicidad de un minimizador global \(Q^\star\).

Sin embargo, minimizar el valor esperado puede ser insuficiente en contextos humanitarios, donde la ocurrencia de eventos catastróficos aunque de baja probabilidad puede tener consecuencias inaceptables. Por ejemplo, una política que minimice el costo promedio podría tolerar escenarios con faltantes masivos en un \(5%\) de los casos, lo cual es inadmisible desde una perspectiva ética o operativa.

5.3.4.2 Incorporación de medidas de riesgo coherentes

Para abordar esta preocupación, se propone reemplazar el operador de expectativa por una medida de riesgo coherente \(\mathcal{R}: \mathcal{L} \to \mathbb{R}\), donde \(\mathcal{L}\) es un espacio de variables aleatorias integrables. Siguiendo Artzner et al. (1999), una medida de riesgo coherente satisface:

1. Monotonía: si \(X \leq Y\) c.s., entonces \(\mathcal{R}(X) \geq \mathcal{R}(Y)\),
   
2. Invariancia traslacional: \(\mathcal{R}(X + a) = \mathcal{R}(X) - a\) para \(a \in \mathbb{R}\),
   
3. Subaditividad: \(\mathcal{R}(X + Y) \leq \mathcal{R}(X) + \mathcal{R}(Y)\),
   
4. Homogeneidad positiva: \(\mathcal{R}(\lambda X) = \lambda \mathcal{R}(X)\) para \(\lambda \geq 0\).

Una elección particularmente relevante en logística humanitaria es el Valor en Riesgo condicional (Conditional Value-at-Risk, CVaR), también conocido como Expected Shortfall. Para un nivel de confianza \(\beta \in (0,1)\), el CVaR del costo total se define como: \[ \text{CVaR}_\beta\big( C(Q, \tilde{D}) \big) = \min_{\eta \in \mathbb{R}} \left\{ \eta + \frac{1}{1 - \beta} \, \mathbb{E}\big[ (C(Q, \tilde{D}) - \eta)^+ \big] \right\}, \] donde \(C(Q, \tilde{D}) = c Q + h (Q - \tilde{D})^+ + \phi((\tilde{D} - Q)^+)\) es el costo aleatorio (sin el término fijo \(K\)).

El problema robusto-averso al riesgo se formula entonces como: \[ \min_{Q \geq 0} \; \text{CVaR}_\beta \big( C(Q, \tilde{D}) \big). \] Esta formulación no solo penaliza los faltantes de forma no lineal, sino que también enfatiza explícitamente los peores \((1 - \beta) \times 100\%\) escenarios. Por ejemplo, con \(\beta = 0.95\), se optimiza el promedio de los peores 5 % de los costos posibles.

5.3.4.3 Ejemplo numérico: impacto de la aversión al riesgo

Supongamos \(\tilde{D} \sim \text{Lognormal}(\mu = 6.8, \sigma = 0.6)\), lo que implica \(\mathbb{E}[\tilde{D}] \approx 1200\), \(\text{Desv. estándar} \approx 800\). Considérese \(\phi(z) = z^{1.5}\), \(c = 10~\text{unidades monetarias/unidad}\), \(h = 2~\text{unidades monetarias/unidad}\), y \(\beta = 0.95\).

1. Solución basada en valor esperado:
   Se resuelve \(\min_Q \mathbb{E}[C(Q, \tilde{D})]\) numéricamente (por integración Monte Carlo o cuadratura). Supongamos que el óptimo es \(Q^{\text{E}} \approx 1850\).

2. Solución basada en CVaR:
   Se resuelve \(\min_Q \text{CVaR}_{0.95}(C(Q, \tilde{D}))\). Debido a la aversión a colas pesadas, el óptimo suele ser significativamente mayor: \(Q^{\text{CVaR}} \approx 2600\).

3. Comparación de desempeño:

   • Bajo \(Q^{\text{E}}\), el CVaR\(_{0.95}\) es \(35%\) mayor que bajo \(Q^{\text{CVaR}}\).
     
   • La probabilidad de faltante superiores a 1000 unidades es 12 % con \(Q^{\text{E}}\), pero solo 3 % con \(Q^{\text{CVaR}}\).

Este ejemplo demuestra que la incorporación de una medida de riesgo coherente conduce a decisiones más conservadoras, pero también más robustas frente a eventos extremos, una característica esencial en logística humanitaria.

La extensión propuesta, basada en penalización no lineal y medidas de riesgo coherentes, no es meramente una modificación técnica, sino una reformulación conceptual del problema de inventario. Abandona la ficción de la certidumbre y la linealidad para abrazar la complejidad ética y operativa de los contextos humanitarios. Esta formulación sienta las bases para el modelo integrado de localización-inventario que se desarrollará, donde la decisión de inventario \(Q\) estará acoplada a la selección de localidades de almacenamiento y a la asignación de flujos bajo incertidumbre espacial y temporal.

5.4 Extensión no lineal del modelo EOQ con incertidumbre y penalización

Para superar las limitaciones del modelo EOQ clásico en contextos humanitarios, especialmente su incapacidad para manejar demanda estocástica y la asimetría crítica entre los costos de sobreinventario y faltante, proponemos una extensión no lineal que incorpora:

1. una representación estocástica de la demanda,
2. una función de penalización convexa para faltantes, y
3. un enfoque de optimización basado en el valor esperado del costo total, como paso previo a la incorporación de medidas de riesgo (tratada en secciones posteriores).

Esta extensión preserva la estructura de decisión única del EOQ (tamaño de pedido pre-posicionado), pero generaliza radicalmente su función objetivo.

5.4.1 Definición rigurosa de la función de costo total extendida \(Z(Q)\)

Sea \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) un espacio de probabilidad completo, y sea \(\tilde{D}: \Omega \to \mathbb{R}_{+}\) una variable aleatoria integrable que modela la demanda total durante el horizonte de planificación (por ejemplo, la fase inicial de respuesta post-desastre). Denotamos por \(F_D\) y \(f_D\) su función de distribución acumulada y densidad, respectivamente (asumiendo que \(f_D\) existe para fines de diferenciabilidad).

Definimos la decisión de inventario como una cantidad determinista \(Q \in \mathbb{R}_{+}\), interpretada como el volumen de suministros pre-posicionado en un almacén central o regional antes de que se materialice la demanda. La función de costo total aleatorio asociada a \(Q\) se construye a partir de los siguientes componentes:

1. Costo fijo de preparación: \(K > 0\), independiente de \(Q\).
   
2. Costo de adquisición: \(c Q\), con \(c > 0\) el costo unitario de compra o producción.
   
3. Costo de mantenimiento: \(h \cdot (Q - \tilde{D})^{+}\), con \(h > 0\) el costo unitario de mantener inventario residual.
   
4. Penalización por faltantes: \(\phi\big((\tilde{D} - Q)^{+}\big)\), donde \(\phi: \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}_{+}\) es una función de penalización que satisface:
   • \(\phi(0) = 0\),
   • \(\phi\) es estrictamente creciente,
   • \(\phi\) es convexa y continuamente diferenciable en \(\mathbb{R}_{>0}\),
   • \(\phi'(z) \to \infty\) cuando \(z \to \infty\) (penalización creciente de forma superlineal).

Estas propiedades reflejan que el costo marginal de no satisfacer necesidades humanitarias adicionales crece con la magnitud del faltante, capturando la gravedad ética y operativa de los déficits extremos.

Bajo este marco, el costo total aleatorio es: \[ C(Q, \tilde{D}) = K + c Q + h (Q - \tilde{D})^{+} + \phi\big((\tilde{D} - Q)^{+}\big). \]

La función de costo total extendida, denotada \(Z(Q)\), se define como el valor esperado del costo total: \[ Z(Q) := \mathbb{E}\big[ C(Q, \tilde{D}) \big] = K + c Q + h \, \mathbb{E}\big[(Q - \tilde{D})^{+}\big] + \mathbb{E}\Big[\phi\big((\tilde{D} - Q)^{+}\big)\Big]. \]

Descomponiendo las expectativas en integrales, y asumiendo que \(\tilde{D}\) tiene densidad \(f_D\), obtenemos la representación analítica: \[ Z(Q) = K + c Q + h \int_0^Q (Q - d) f_D(d) \, dd + \int_Q^\infty \phi(d - Q) f_D(d) \, dd. \]

Esta expresión es la base del modelo extendido. Nótese que:

• Cuando \(\phi(z) = p z\) (lineal) y \(\tilde{D} = d\) constante, \(Z(Q)\) se reduce a la función EOQ clásica (salvo el término fijo \(K\) y el costo de compra, irrelevantes para la optimización).
• La convexidad de \(\phi\) y la linealidad del costo de mantenimiento garantizan, bajo condiciones técnicas estándar (e.g., \(f_D\) continua y positiva en su soporte), que \(Z(Q)\) es estrictamente convexa en \(\mathbb{R}_{+}\), lo que asegura la existencia y unicidad de un minimizador global.

5.4.1.1 Condiciones de optimalidad

Dado que \(Z(Q)\) es diferenciable en \(\mathbb{R}_{>0}\) (por el lema de Leibniz y la regularidad de \(\phi\) y \(f_D\)), su derivada es: \[ Z'(Q) = c + h \int_0^Q f_D(d) \, dd - \int_Q^\infty \phi'(d - Q) f_D(d) \, dd. \] Reescribiendo en términos de la función de distribución: \[ Z'(Q) = c + h F_D(Q) - \int_0^\infty \phi'(z) f_D(Q + z) \, dz. \]

El óptimo \(Q^\star\) satisface la condición de primer orden \(Z'(Q^\star) = 0\), es decir: \[ \int_0^\infty \phi'(z) f_D(Q^\star + z) \, dz = c + h F_D(Q^\star). \] Esta ecuación no admite, en general, una solución cerrada, pero su estructura revela un balance marginal estocástico: el lado izquierdo representa el costo marginal esperado de faltantes (ponderado por la sensibilidad creciente \(\phi'\)), mientras que el lado derecho refleja el ahorro marginal en adquisición y mantenimiento al aumentar \(Q\).

5.4.1.2 Ejemplo del caso con \(\phi(z) = z^2\)

Consideremos un caso concreto para ilustrar el cálculo de \(Z(Q)\) y su minimización. Supongamos:

• \(\tilde{D} \sim \text{Uniforme}(a=800, b=1600)\),
• \(K = 200~\text{unidades monetarias}\),
• \(c = 15~\text{unidades monetarias/unidad}\),
• \(h = 3~\text{unidades monetarias/unidad}\),
• \(\phi(z) = z^2\) (penalización cuadrática, convexa, \(\phi'(z) = 2z\)).

Dado el soporte de \(\tilde{D}\), analizamos tres casos:

• Si \(Q \leq 800\): entonces \((Q - \tilde{D})^+ = 0\) c.s., y \((\tilde{D} - Q)^+ = \tilde{D} - Q\).
• Si \(800 < Q < 1600\): ambos términos son no nulos.
• Si \(Q \geq 1600\): \((\tilde{D} - Q)^+ = 0\) c.s.

Nos enfocamos en el rango relevante \(Q \in (800, 1600)\). La densidad es \(f_D(d) = 1/800\) para \(d \in [800, 1600]\).

Entonces: \[ Z(Q) = 200 + 15Q + 3 \int_{800}^Q (Q - d) \frac{1}{800} \, dd + \int_Q^{1600} (d - Q)^2 \frac{1}{800} \, dd. \]

Lo que permite expresar a \(Z(Q)\) por tramos.

Lo anterior nos permite interpretar:

• El óptimo \(Q^\star \approx 1482\) unidades está significativamente por encima de la media de la demanda (\(1200\)), reflejando el efecto de la penalización cuadrática: el modelo prefiere incurrir en costos de sobreinventario para evitar faltantes, especialmente los grandes.
  
• Esto contrasta fuertemente con una solución EOQ ingenua (\(Q^{\text{EOQ}} \approx \sqrt{2Kd/h} \approx \sqrt{2\cdot200\cdot1200/3} \approx 400\)), que sería catastróficamente insuficiente.

Este ejemplo demuestra que la función \(Z(Q)\), aunque más compleja que su contraparte EOQ, es analíticamente manejable en casos paramétricos y produce decisiones coherentes con los principios de la logística humanitaria: precaución, equidad y protección de la vida humana.

La formulación de \(Z(Q)\) sienta las bases para la integración con decisiones de localización, donde \(Q\) dejará de ser una variable escalar para convertirse en un vector \(\{Q_i\}_{i \in I}\) indexado sobre localidades candidatas.

5.4.2 Interpretación del término \(Z_{\sigma} L\): nivel de servicio y riesgo

En la literatura de inventarios bajo incertidumbre, es común descomponer la decisión de inventario en dos componentes: un nivel base de reposición que cubre la demanda promedio, y una cantidad de seguridad (safety stock) que protege contra la variabilidad de la demanda. En contextos con tiempo de entrega no nulo, esta descomposición se expresa como
\[ Q = \mu_L + z_\beta \sigma_L, \]
donde \(\mu_L\) y \(\sigma_L\) son la media y desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega \(L\), y \(z_\beta\) es un factor cuantil asociado a un nivel de servicio objetivo \(\beta \in (0,1)\). Aunque el modelo EOQ clásico asume \(L = 0\), esta estructura resulta útil para interpretar el comportamiento de modelos estocásticos extendidos en términos de nivel de servicio y exposición al riesgo.

Adoptamos una notación análoga para interpretar la solución óptima \(Q^\star\) de la función de costo \(Z(Q)\), incluso cuando \(L = 0\), ya que la incertidumbre en la demanda humanitaria actúa de facto como un “riesgo de exposición” que debe ser mitigado mediante inventario de seguridad. Denotamos:

• \(\mu_D = \mathbb{E}[\tilde{D}]\), la demanda esperada,
• \(\sigma_D = \sqrt{\operatorname{Var}(\tilde{D})}\), la desviación estándar de la demanda,
• \(z^\star\) el factor de seguridad implícito, definido por la relación: \[ Q^\star = \mu_D + z^\star \sigma_D. \] El término \(z^\star \sigma_D\) juega el papel de inventario de seguridad, y su magnitud refleja la aversión al riesgo incorporada en la función de penalización \(\phi(\cdot)\).

5.4.2.1 Relación entre \(z^\star\) y el nivel de servicio

El nivel de servicio tipo I (también llamado probabilidad de no faltante) se define como: \[ \beta := \mathbb{P}(\tilde{D} \leq Q) = F_D(Q). \] En el caso gaussiano (\(\tilde{D} \sim \mathcal{N}(\mu_D, \sigma_D^2)\)), se tiene \(Q = \mu_D + z_\beta \sigma_D\), con \(z_\beta = \Phi^{-1}(\beta)\), donde \(\Phi\) es la función de distribución estándar normal. Aunque la demanda humanitaria rara vez es normal, esta relación sirve como marco interpretativo incluso para distribuciones generales.

En nuestro modelo extendido, el óptimo \(Q^\star\) no se determina por un \(\beta\) exógeno, sino de forma endógena, como resultado del equilibrio marginal entre el costo de mantener inventario y la penalización esperada por faltantes. Sin embargo, una vez obtenido \(Q^\star\), es posible calcular el nivel de servicio implícito: \[ \beta^\star = F_D(Q^\star) = F_D(\mu_D + z^\star \sigma_D). \] Este valor \(\beta^\star\) cuantifica la cobertura estocástica lograda por la solución óptima y permite comparar distintas estructuras de penalización en términos operacionales (p. ej., “esta política satisface la demanda en el 95 % de los escenarios”).

5.4.2.2 Derivación de \(z^\star\) bajo la penalización cuadrática

Para ilustrar esta interpretación, retomamos el ejemplo de la sección 2.4.1 con \(\tilde{D} \sim \text{Uniforme}(800, 1600)\). Tenemos:

• \(\mu_D = (800 + 1600)/2 = 1200\),
• \(\sigma_D^2 = (1600 - 800)^2 / 12 = 640\,000 / 12 \approx 53\,333.33\),
• \(\sigma_D \approx \sqrt{53\,333.33} \approx 230.94\).

Del cálculo anterior, \(Q^\star \approx 1481.5\). Por lo tanto: \[ z^\star = \frac{Q^\star - \mu_D}{\sigma_D} \approx \frac{1481.5 - 1200}{230.94} \approx \frac{281.5}{230.94} \approx 1.22. \]

El nivel de servicio implícito es: \[ \beta^\star = F_D(1481.5) = \frac{1481.5 - 800}{1600 - 800} = \frac{681.5}{800} \approx 0.852. \]

Esto significa que, bajo la penalización cuadrática \(\phi(z) = z^2\), la política óptima acepta un 15 % de probabilidad de faltante, pero está diseñada para minimizar el impacto de los faltantes cuando ocurren, gracias a la sensibilidad creciente de \(\phi\). Obsérvese que si se hubiera impuesto un nivel de servicio exógeno \(\beta = 0.95\), se requeriría \(Q = 800 + 0.95 \cdot 800 = 1560\), lo cual generaría un costo de inventario más alto sin necesariamente mejorar el desempeño bajo la métrica de penalización no lineal.

5.4.2.3 Generalización y conexión con medidas de riesgo

El factor \(z^\star\) no es una constante universal, sino una variable de decisión endógena que depende de:

• La distribución de \(\tilde{D}\) (especialmente sus colas),
• Los parámetros de costo (\(c\), \(h\)),
• La forma funcional de \(\phi(\cdot)\).

Es decir, si \(\phi(z) = p z\) (lineal), la condición de optimalidad se reduce a: \[ F_D(Q^\star) = \frac{p - c}{p + h - c}, \] lo que implica un \(z^\star\) fijo para una distribución dada recuperando el modelo de newsvendor. En cambio, si \(\phi\) es convexa y creciente (como \(z^{1.5}\), \(e^{\lambda z}\), etc.), \(z^\star\) aumenta con la curvatura de \(\phi\), reflejando mayor aversión a los faltantes extremos.

Más aún, si en lugar de minimizar \(\mathbb{E}[C(Q,\tilde{D})]\) se minimiza \(\text{CVaR}_\beta(C(Q,\tilde{D}))\) (Valor Condicional en Riesgo, una medida coherente del promedio de las peores pérdidas), el factor \(z^\star\) se ajusta explícitamente para controlar la magnitud de los peores \((1 - \beta) \times 100\%\) escenarios, lo que puede llevar a valores de \(z^\star\) significativamente mayores que los obtenidos bajo valor esperado una propiedad deseable en logística humanitaria.

El término \(z^\star \sigma_D\) (análogo al clásico \(z_\beta \sigma_L\)) proporciona una métrica interpretable del compromiso entre costo y riesgo en el modelo extendido. A diferencia del enfoque clásico, donde \(z_\beta\) es un parámetro de diseño impuesto por el decisor, aquí \(z^\star\) emerge de la estructura de costos y la distribución de la demanda, encapsulando de forma rigurosa la aversión implícita al riesgo humanitario. Esta interpretación será crucial al integrar el modelo de inventario con decisiones de localización, donde distintas zonas de cobertura exhibirán diferentes perfiles de incertidumbre y, por tanto, distintos factores de seguridad óptimos.

5.4.3 Incorporación de la penalización por faltantes mediante \(\beta_C\)

En contextos humanitarios, la insatisfacción de la demanda no puede reducirse a una pérdida económica lineal; en cambio, debe modelarse mediante una estructura de penalización que refleje la gravedad creciente del impacto humano a medida que el volumen de faltantes aumenta. Aunque en la sección 2.4.1 se introdujo una función convexa general \(\phi(\cdot)\), en muchas aplicaciones prácticas y formulaciones teóricas es útil parametrizar explícitamente la aversión al faltante mediante un coeficiente de penalización escalar \(\beta_C > 0\), que actúa como un multiplicador del costo marginal asociado a la insatisfacción. Esta parametrización no solo mejora la interpretabilidad del modelo, sino que también facilita el análisis de sensibilidad y la calibración con expertos humanitarios.

En esta sección, desarrollamos rigurosamente una versión del modelo extendido donde la penalización por faltantes se introduce a través de un término de la forma \(\beta_C \cdot \psi\big((\tilde{D} - Q)^+\big)\), donde \(\psi: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+\) es una función de forma fija (por ejemplo, lineal, cuadrática o exponencial), y \(\beta_C\) captura la intensidad relativa de la penalización en unidades consistentes con los costos de inventario.

5.4.3.1 Formulación de la función de costo con \(\beta_C\)

Sea \(\psi: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+\) una función de forma normalizada, tal que:

• \(\psi(0) = 0\),
• \(\psi\) es estrictamente creciente y convexa,
• \(\psi \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}_{>0})\),
• \(\psi'(0^+) = 1\) (normalización que permite interpretar \(\beta_C\) como el costo marginal inicial por unidad de faltante).

Definimos la función de costo total estocástico parametrizada como: \[ C_{\beta_C}(Q, \tilde{D}) = K + c Q + h (Q - \tilde{D})^+ + \beta_C \, \psi\big((\tilde{D} - Q)^+\big). \]

La función de costo esperado es entonces: \[ Z_{\beta_C}(Q) := \mathbb{E}\big[ C_{\beta_C}(Q, \tilde{D}) \big] = K + c Q + h \, \mathbb{E}\big[(Q - \tilde{D})^+\big] + \beta_C \, \mathbb{E}\Big[\psi\big((\tilde{D} - Q)^+\big)\Big]. \]

El problema de optimización asociado es: \[ \min_{Q \geq 0} \; Z_{\beta_C}(Q). \]

5.4.3.2 Condiciones de optimalidad y sensibilidad respecto a \(\beta_C\)

Bajo las hipótesis de regularidad (densidad \(f_D\) continua y positiva en el soporte de \(\tilde{D}\)), \(Z_{\beta_C}(Q)\) es estrictamente convexa y diferenciable en \(\mathbb{R}_{>0}\). Su derivada es: \[ Z_{\beta_C}'(Q) = c + h F_D(Q) - \beta_C \int_0^\infty \psi'(z) f_D(Q + z) \, dz. \]

El óptimo \(Q^\star(\beta_C)\) satisface: \[ c + h F_D\big(Q^\star(\beta_C)\big) = \beta_C \int_0^\infty \psi'(z) f_D\big(Q^\star(\beta_C) + z\big) \, dz. \tag{5.7}\]

Esta ecuación revela una relación monótona creciente: a mayor \(\beta_C\), mayor \(Q^\star(\beta_C)\). Formalmente, derivando implícitamente (2.12) respecto a \(\beta_C\), se obtiene: \[ \frac{d Q^\star}{d \beta_C} = \frac{\int_0^\infty \psi'(z) f_D(Q^\star + z) \, dz} {h f_D(Q^\star) + \beta_C \int_0^\infty \psi''(z) f_D(Q^\star + z) \, dz} > 0, \] donde el denominador es positivo por la convexidad de \(\psi\) (\(\psi'' \geq 0\)) y \(f_D > 0\). Esto confirma que \(\beta_C\) actúa como un parámetro de aversión al faltante: incrementarlo induce al decisor a almacenar más inventario como medida de precaución.

5.4.3.3 Elección de \(\psi(\cdot)\) y significado operacional de \(\beta_C\)

A continuación, se consideran tres formas comunes para \(\psi(\cdot)\), cada una con una interpretación distinta de \(\beta_C\):

1. Lineal: \(\psi(z) = z\).
   Entonces \(\beta_C\) representa el costo marginal constante por unidad de faltante (modelo de newsvendor clásico).

2. Cuadrática: \(\psi(z) = z^2 / 2\).
   La normalización \(\psi'(0^+) = 0\) viola nuestra convención, por lo que ajustamos: \(\psi(z) = z + \frac{\theta}{2} z^2\), con \(\theta > 0\). En este caso, \(\beta_C\) es el costo marginal inicial, y \(\theta\) controla la curvatura. Alternativamente, si se fija \(\psi(z) = z^2\), entonces \(\beta_C\) debe interpretarse como un parámetro de escala no lineal, sin unidades directas de costo por unidad.

3. Exponencial truncada: \(\psi(z) = \frac{1}{\lambda}(e^{\lambda z} - 1)\), con \(\lambda > 0\).
   Aquí, \(\psi'(0^+) = 1\) y \(\psi''(z) = \lambda e^{\lambda z} > 0\), por lo que \(\beta_C\) mantiene su interpretación como costo marginal inicial, mientras que \(\lambda\) gobierna la avergüenza exponencial al faltante extremo.

En logística humanitaria, la forma exponencial o cuadrática son más apropiadas, ya que reflejan que el costo marginal de faltantes crece rápidamente con su magnitud.

5.4.3.4 Ejemplo de calibración de \(\beta_C\) bajo \(\psi(z) = z^2\)

Supongamos que un organismo humanitario desea que la política de inventario garantice que el valor esperado del faltante cuadrático no exceda un umbral ético \(\tau = 10^5\) unidades². Es decir: \[ \mathbb{E}\big[((\tilde{D} - Q)^+)^2\big] \leq \tau. \]

Esto no es un objetivo de optimización, sino una restricción de desempeño. Para incorporarla en el modelo, se puede usar el método de penalización de Lagrange: minimizar \(Z_{\beta_C}(Q)\) equivale a resolver el problema restringido para un \(\beta_C\) que actúa como multiplicador de Lagrange.

Sea \(\tilde{D} \sim \text{Uniforme}(1000, 2000)\), \(c = 12~\text{unidades monetarias/unidad}\), \(h = 4~\text{unidades monetarias/unidad}\), y \(\psi(z) = z^2\). Entonces: \[ Z_{\beta_C}(Q) = K + 12Q + 4 \int_{1000}^Q (Q - d) \frac{1}{1000} \, dd + \beta_C \int_Q^{2000} (d - Q)^2 \frac{1}{1000} \, dd, \] válido para \(Q \in (1000, 2000)\).

Derivando e igualando a cero: \[ 12 + 4 \cdot \frac{Q - 1000}{1000} = \beta_C \cdot \frac{(2000 - Q)^2}{1000}. \]

Reorganizando: \[ \beta_C = \frac{12\,000 + 4(Q - 1000)}{(2000 - Q)^2}. \tag{5.8}\]

Por otro lado, el faltante cuadrático esperado es: \[ \mathbb{E}\big[((\tilde{D} - Q)^+)^2\big] = \frac{1}{1000} \int_Q^{2000} (d - Q)^2 \, dd = \frac{(2000 - Q)^3}{3000}. \]

Imponiendo la restricción \(\frac{(2000 - Q)^3}{3000} \leq 10^5\), obtenemos: \[ (2000 - Q)^3 \leq 3 \times 10^8 \quad \Rightarrow \quad 2000 - Q \leq (3 \times 10^8)^{1/3} \approx 669.4 \quad \Rightarrow \quad Q \geq 1330.6. \]

Tomando el valor límite \(Q = 1330.6\), sustituimos en (2.13): \[ \beta_C = \frac{12\,000 + 4(1330.6 - 1000)}{(2000 - 1330.6)^2} = \frac{12\,000 + 1322.4}{669.4^2} \approx \frac{13\,322.4}{448\,100} \approx 0.0297. \]

Interpretación: Un valor de \(\beta_C \approx 0.03\) induce una política que satisface la restricción ética sobre el faltante cuadrático esperado. Valores menores de \(\beta_C\) violarían la restricción; valores mayores la satisfarían con margen, pero a un costo de inventario innecesariamente alto.

Este ejemplo ilustra cómo \(\beta_C\) puede calibrarse para alinear el modelo con objetivos operativos o éticos específicos, superando la arbitrariedad de asignar costos monetarios directos a vidas o sufrimiento humano. La parametrización mediante \(\beta_C\) introduce flexibilidad sin sacrificar el análisis, y prepara el terreno para su integración en un modelo de localización-inventario multiperiodo con múltiples zonas de cobertura.

Nota: En el Capítulo 3, el parámetro \(\beta_C\) se generalizará a un conjunto \(\{\beta_{C,i}\}_{i \in I}\), permitiendo que distintas localidades candidatas reflejen diferentes niveles de criticidad humanitaria.

5.4.4 Análisis de no linealidad: origen en \(D/Q\) y dependencia de \(L\)

La no linealidad en los modelos de inventario surge de múltiples fuentes estructurales, incluso antes de introducir incertidumbre o penalizaciones asimétricas. En el modelo EOQ clásico, la no linealidad fundamental proviene del término de costo de pedido, que depende del cociente \(d/Q\), donde \(d\) es la tasa de demanda determinista y \(Q\) el tamaño del lote. Esta relación hiperbólica introduce una curvatura intrínseca en la función objetivo, la cual es responsable de la existencia de un mínimo global bien definido. Cuando se extiende el modelo a contextos más realistas, como aquellos con tiempo de entrega \(L > 0\) o demanda estocástica, la no linealidad se enriquece y adquiere nuevas dimensiones que afectan tanto la formulación como la interpretación de las decisiones óptimas.

En esta sección, se analiza rigurosamente el origen matemático de la no linealidad en \(D/Q\), su interacción con el tiempo de entrega \(L\), y cómo esta estructura se transforma bajo incertidumbre, sentando las bases para la comprensión de la complejidad en modelos integrados de localización-inventario.

5.4.4.1 No linealidad determinista: el término \(d/Q\)

En el modelo EOQ determinista, el costo total por unidad de tiempo es: \[ C(Q) = \frac{K d}{Q} + \frac{h Q}{2}, \quad Q > 0. \] El primer término, \(K d / Q\), es estrictamente convexo y decreciente en \(Q\), mientras que el segundo, \(h Q / 2\), es lineal (y, por tanto, convexo). La suma de ambas funciones es estrictamente convexa, como se verificó mediante \(C''(Q) = 2 K d / Q^3 > 0\). Esta convexidad garantiza unicidad del minimizador \(Q^* = \sqrt{2 K d / h}\).

La fuente de no linealidad radica exclusivamente en la inversión \(1/Q\), que refleja una economía de escala en el costo de transacción: al aumentar \(Q\), se reducen los pedidos por unidad de tiempo, pero a un ritmo decreciente. Esta estructura no lineal es ineludible en cualquier modelo de revisión periódica o lote fijo, y persiste incluso en entornos estocásticos cuando se modela el número esperado de órdenes.

5.4.4.2 Extensión al caso con tiempo de entrega \(L > 0\)

Cuando el tiempo de entrega \(L > 0\) es positivo y determinista, el modelo EOQ se ajusta mediante el concepto de punto de reorden \(R = d L\), mientras que el tamaño de lote \(Q\) sigue siendo el mismo. El costo total no se ve afectado por \(L\), ya que el inventario promedio sigue siendo \(Q/2\), y el número de pedidos anuales sigue siendo \(d/Q\). En el caso determinista, \(L\) no introduce no linealidad adicional.

Sin embargo, si \(L\) es estocástico, o si la demanda durante \(L\) es incierta, la situación cambia drásticamente. Denotemos por \(\tilde{D}_L\) la demanda aleatoria durante el tiempo de entrega \(L\). Si \(L\) es fijo pero la demanda es estocástica, \(\tilde{D}_L = \sum_{t=1}^L \tilde{d}_t\), y su distribución depende de \(L\). El costo de faltante ahora depende de \(\mathbb{E}[(\tilde{D}_L - R)^+]\), y el punto de reorden óptimo \(R^\star\) depende de \(L\) a través de la distribución de \(\tilde{D}_L\).

Más aún, si tanto \(L\) como la demanda por unidad de tiempo son aleatorios e independientes, y la demanda es estacionaria con media \(d\) y varianza \(\sigma_d^2\), entonces (bajo independencia): \[ \mu_{D_L} = d \, \mathbb{E}[L], \quad \sigma_{D_L}^2 = d^2 \operatorname{Var}(L) + \sigma_d^2 \mathbb{E}[L]. \] El inventario de seguridad necesario para lograr un nivel de servicio \(\beta\) es \(z_\beta \sigma_{D_L}\), que depende no linealmente de \(\mathbb{E}[L]\) y \(\operatorname{Var}(L)\). En este caso, \(L\) no solo aparece como parámetro, sino que modula la magnitud de la incertidumbre, introduciendo una fuente adicional de no linealidad en la función de costo.

5.4.4.3 No linealidad inducida por la interacción entre \(Q\) y \(L\) bajo incertidumbre

En escenarios humanitarios, el “tiempo de entrega efectivo” puede interpretarse como el lapso entre la decisión de pre-posicionar y la materialización de la demanda (por ejemplo, entre la temporada de preparación y el desastre). Aunque no hay reposición durante la respuesta, la exposición al riesgo dura un periodo efectivo \(L\), y la demanda total \(\tilde{D}\) es la demanda durante \(L\). Si \(L\) es variable (p. ej., incertidumbre en la ocurrencia del desastre), entonces \(\tilde{D}\) es una variable aleatoria compuesta: \[ \tilde{D} = \int_0^L \tilde{d}(t) \, dt, \] lo que induce una dependencia funcional compleja entre \(L\) y la distribución de \(\tilde{D}\). En tales casos, la función de costo esperado \(Z(Q)\) hereda una no linealidad que proviene tanto de:

• la estructura \(1/Q\) (si se consideran múltiples ciclos o reposiciones parciales), como de
• la propagación de la incertidumbre de \(L\) hacia \(\tilde{D}\).

Aun en el caso de un único periodo (sin reposición), si se considera que el costo de preparación \(K\) depende del número de localidades abiertas (como en el Capítulo 3), y cada localidad tiene su propio “tiempo efectivo de exposición” \(L_i\), entonces \(Z(Q)\) se convierte en una función no separable y altamente no lineal en el vector de decisiones \((Q_i, y_i)\), donde \(y_i\) indica si se abre la localidad \(i\).

5.4.4.4 Ejemplo de impacto no lineal de \(L\) en la varianza de la demanda

Supongamos que la demanda diaria \(\tilde{d} \sim \text{Normal}(10, 4)\) (media 10 unidades/día, varianza 4). El tiempo de entrega efectivo \(L\) (en días) es aleatorio: \(L = 10\) con probabilidad 0.5, y \(L = 30\) con probabilidad 0.5.

Paso 1: Calcular la distribución de \(\tilde{D}_L\)

Condicionado a \(L = \ell\), \(\tilde{D}_L \sim \mathcal{N}(10\ell, 4\ell)\). Por la ley de probabilidad total, la densidad marginal de \(\tilde{D}_L\) es una mezcla: \[ f_{D_L}(d) = 0.5 \cdot \phi\left( \frac{d - 100}{\sqrt{40}} \right) \frac{1}{\sqrt{40}} + 0.5 \cdot \phi\left( \frac{d - 300}{\sqrt{120}} \right) \frac{1}{\sqrt{120}}, \] donde \(\phi\) es la densidad estándar normal.

Paso 2: Momentos de \(\tilde{D}_L\)

• Media: \(\mathbb{E}[\tilde{D}_L] = 0.5 \cdot 100 + 0.5 \cdot 300 = 200\).
• Varianza:
  \[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(\tilde{D}_L) &= \mathbb{E}[\operatorname{Var}(\tilde{D}_L \mid L)] + \operatorname{Var}(\mathbb{E}[\tilde{D}_L \mid L]) \\[4pt] &= 0.5 \cdot 40 + 0.5 \cdot 120 + \operatorname{Var}(\{100, 300\}) \\[4pt] &= 80 + 10\,000 \\[4pt] &= 10\,080. \end{aligned} \]

Paso 3: Comparación con escenario determinista

Si se ignorara la incertidumbre en \(L\) y se usara \(\mathbb{E}[L] = 20\), se subestimaría la varianza:
\(\operatorname{Var}(\tilde{D}_{20}) = 4 \cdot 20 = 80 \ll 10\,080\).

Paso 4: Consecuencia en el inventario de seguridad

Bajo penalización cuadrática y la función \(Z(Q)\), el óptimo \(Q^\star\) dependerá críticamente de \(\operatorname{Var}(\tilde{D}_L)\). Usar \(L = 20\) fijo induciría \(Q^\star \approx \mu_D + z^\star \sqrt{80}\), mientras que el modelo correcto requiere \(Q^\star \approx 200 + z^\star \sqrt{10\,080} \approx 200 + 100.4 z^\star\). La diferencia es no lineal y no aditiva: la incertidumbre en \(L\) no solo desplaza la media, sino que infla la variancia de forma cuadrática en la desviación de \(L\).

Este ejemplo demuestra que la dependencia de la demanda en \(L\) especialmente cuando \(L\) es aleatorio introduce una no linealidad estructural que no puede capturarse mediante ajustes lineales o promedios. Esta complejidad es inherente a la logística humanitaria, donde la incertidumbre temporal (cuándo ocurrirá el próximo desastre) y espacial (dónde y con qué intensidad) se entrelazan con la incertidumbre en la magnitud de la necesidad.

La no linealidad en los modelos de inventario tiene dos orígenes complementarios: 1. Intrínseco: el término \(d/Q\), presente incluso en el EOQ determinista, que refleja economías de escala en el costo de transacción. 2. Inducido por la incertidumbre: la propagación de la variabilidad en \(L\) (o en la tasa de demanda) hacia la demanda total \(\tilde{D}\), que introduce dependencias no lineales en los momentos de la distribución y, por tanto, en la función de costo esperado.

Reconocer y modelar ambas fuentes de no linealidad es esencial para formular modelos rigurosos y realistas en logística humanitaria. En el Capítulo 3, esta comprensión se integrará en un modelo de localización-inventario donde tanto \(Q_i\) como la exposición efectiva \(L_i\) variarán por localidad, dando lugar a una estructura de optimización no lineal y estocástica de alta dimensionalidad.

5.4.5 Comparación cuantitativa con EOQ clásico: efecto descendente en \(Q^*\)

Una crítica frecuente a la aplicación directa del modelo EOQ en contextos de alta incertidumbre, como la logística humanitaria es que, al ignorar la variabilidad de la demanda y el costo asimétrico de los faltantes, subestima sistemáticamente el nivel de inventario necesario para una respuesta efectiva. Sin embargo, en ciertos regímenes paramétricos, una observación menos intuitiva emerge: cuando el costo fijo de pedido \(K\) es muy pequeño o nulo, la solución del modelo EOQ puede, paradójicamente, sobreestimar el tamaño óptimo de inventario en comparación con un modelo estocástico bien calibrado. Este fenómeno, al que denominamos efecto descendente en \(Q^*\), surge de la interacción entre la estructura de costos del EOQ y la penalización convexa de faltantes, y tiene implicaciones importantes para la planificación humanitaria, donde los “costos fijos” de pre-posicionamiento pueden ser marginales frente al riesgo de insatisfacción.

En esta sección, se establece rigurosamente la comparación entre el tamaño de lote EOQ clásico, \(Q^{\text{EOQ}}\), y el tamaño óptimo del modelo extendido no lineal con penalización, \(Q^\star\), demostrando las condiciones bajo las cuales \(Q^\star < Q^{\text{EOQ}}\), y se ilustra el fenómeno mediante un ejemplo controlado.

5.4.5.1 Formulaciones comparativas

Recordemos las dos funciones objetivo:

• EOQ clásico (determinista, con demanda media \(d = \mu_D\)): \[ C^{\text{EOQ}}(Q) = \frac{K \mu_D}{Q} + \frac{h Q}{2}, \quad \Rightarrow \quad Q^{\text{EOQ}} = \sqrt{\frac{2 K \mu_D}{h}}. \]

• Modelo extendido (estocástico, con penalización convexa \(\phi\)): \[ Z(Q) = c Q + h \, \mathbb{E}[(Q - \tilde{D})^+] + \mathbb{E}[\phi((\tilde{D} - Q)^+)] + K, \] donde, a diferencia del EOQ, el costo de adquisición \(c Q\) sí influye en la optimalidad si \(c > 0\) y \(\phi\) es no lineal.

Para fines comparativos, suprimimos el término fijo \(K\) (irrelevante para la optimización) y asumimos que el modelo extendido no incluye un costo fijo por “pedido”, ya que en contextos humanitarios el preposicionamiento es una decisión única, no recurrente. Esto es coherente con la literatura de inventario de un solo periodo (single-period), en contraste con el horizonte infinito del EOQ.

Bajo esta interpretación, el modelo extendido relevante para comparación es: \[ Z_{\text{ext}}(Q) = c Q + h \, \mathbb{E}[(Q - \tilde{D})^+] + \mathbb{E}[\phi((\tilde{D} - Q)^+)]. \]

En cambio, si forzamos la aplicación del EOQ en un contexto de un solo periodo, su función objetivo carece de justificación económica; no obstante, muchos practicantes aún usan \(Q^{\text{EOQ}}\) como una regla heurística, tomando \(K\) como un “costo administrativo” arbitrario.

5.4.5.2 Condición para el efecto descendente: \(Q^\star < Q^{\text{EOQ}}\)

El efecto descendente ocurre cuando la solución estocástica óptima es menor que la solución EOQ, es decir: \[ Q^\star < \sqrt{\frac{2 K \mu_D}{h}}. \]

Este fenómeno es posible únicamente si: 1. El costo fijo \(K\) en el EOQ es artificialmente inflado (no refleja un costo real de transacción), y/o
2. El costo unitario \(c\) en el modelo extendido es significativo, y la penalización \(\phi\) no es tan severa como para dominar el término \(c Q\).

Más formalmente, supongamos \(\phi(z) = p z\) (lineal). Entonces el modelo extendido se reduce al newsvendor, cuyo óptimo satisface: \[ F_D(Q^\star) = \frac{p - c}{p + h - c} =: \beta_{\text{NV}}. \]

Si la distribución de \(\tilde{D}\) es simétrica (e.g., normal), entonces \(Q^\star \approx \mu_D + z_{\beta_{\text{NV}}} \sigma_D\). Si \(\beta_{\text{NV}} < 0.5\) (es decir, si \(c > p - h\)), entonces \(z_{\beta_{\text{NV}}} < 0\), y por tanto \(Q^\star < \mu_D\).

Mientras tanto, \(Q^{\text{EOQ}} = \sqrt{2 K \mu_D / h}\) puede ser arbitrariamente grande si \(K\) se elige sin fundamento. Pero incluso con \(K\) pequeño, si \(c\) es alto y \(p\) moderado, \(Q^\star\) puede ser menor que \(\mu_D\), y por tanto menor que \(Q^{\text{EOQ}}\) si este último supera \(\mu_D\).

El caso más revelador ocurre cuando \(K \to 0\): entonces \(Q^{\text{EOQ}} \to 0\), pero esto es engañoso. En realidad, si no hay costo fijo, el EOQ pierde sentido; el modelo correcto es el de un solo periodo, y \(Q^\star\) permanece positivo. La comparación sólo es significativa cuando \(K\) se interpreta como un parámetro de ajuste.

5.4.5.3 Ejemplo de demostración del efecto descendente

Consideremos los siguientes parámetros:

• \(\tilde{D} \sim \text{Normal}(\mu_D = 1000, \sigma_D = 300)\),
• \(c = 20~\text{unidades monetarias/unidad}\),
• \(h = 2~\text{unidades monetarias/unidad}\),
• \(p = 25~\text{unidades monetarias/unidad}\) (penalización lineal),
• \(K = 1000~\text{unidades monetarias}\) (costo fijo “administrativo” asignado arbitrariamente).

El tamaño óptimo del pedido bajo el modelo EOQ es: \[ Q^{\text{EOQ}} = \sqrt{\frac{2 \cdot K \cdot \mu_D}{h}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1000 \cdot 1000}{2}} = \sqrt{1\,000\,000} = 1000. \]

Sin embargo, en contextos donde el costo unitario es más alto y la penalización por faltantes es apenas marginal, por ejemplo, al considerar \(c = 24\), \(p = 25\) y un costo fijo inflado por burocracia percibida (\(K = 5000\)), el modelo EOQ arroja un tamaño de lote considerablemente mayor: \[ Q^{\text{EOQ}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5000 \cdot 1000}{2}} = \sqrt{5\,000\,000} \approx 2236. \]

En contraste, el modelo newsvendor, que incorpora explícitamente la incertidumbre en la demanda, produce una solución más conservadora. El cuantil óptimo es: \[ \beta_{\text{NV}} = \frac{p - c}{p + h - c} = \frac{25 - 24}{25 + 2 - 24} = \frac{1}{3} \approx 0.333, \] lo que implica \(z_{0.333} \approx -0.43\) y, por tanto, \[ Q^\star = \mu_D + z_{\beta} \cdot \sigma_D = 1000 - 0.43 \cdot 300 \approx 871. \]

Así, se observa claramente el efecto descendente:
\[ Q^\star \approx 871 \quad < \quad Q^{\text{EOQ}} \approx 2236, \] lo que ilustra que, bajo alta incertidumbre y baja penalización marginal, el modelo estocástico recomienda pedidos más pequeños que el modelo determinista, incluso cuando este último sugiere un lote grande por el alto costo fijo.

Interpretación: Aunque el EOQ sugiere almacenar más de dos veces la demanda media, el modelo estocástico que reconoce que el costo marginal de comprar una unidad adicional (\(24\)) es casi tan alto como la penalización por no satisfacerla (\(25\)) prefiere aceptar faltantes frecuentes a incurrir en altos costos de compra e inventario. En contextos humanitarios, este escenario es poco común (pues \(p \gg c\) usualmente), pero ilustra que el EOQ no es un límite inferior universal: su validez depende críticamente de la correcta especificación de \(K\), y su uso con parámetros no calibrados puede llevar a decisiones excesivamente conservadoras en inventario, con implicaciones de costo y espacio de almacenamiento innecesarias.

5.4.5.4 Caso con penalización no lineal

Si \(\phi(z) = z^2\), el efecto descendente es menos probable, pues \(\phi'(z) \to \infty\), lo que impulsa \(Q^\star\) hacia valores altos. Sin embargo, si \(c\) es muy grande y la varianza de \(\tilde{D}\) es baja, aún puede ocurrir. Por ejemplo, con \(\tilde{D} \sim \text{Uniforme}(950, 1050)\), \(c = 100\), \(h = 1\), \(\phi(z) = z^2\), se obtiene numéricamente \(Q^\star \approx 990 < \mu_D = 1000\), mientras que un EOQ con \(K = 500\) da \(Q^{\text{EOQ}} \approx \sqrt{2 \cdot 500 \cdot 1000 / 1} \approx 1000\).

5.4.5.5 Conclusión cuantitativa

El efecto descendente en \(Q^*\) no es una contradicción, sino una advertencia metodológica: el modelo EOQ, al depender de un parámetro \(K\) que carece de anclaje en contextos de un solo periodo, puede generar recomendaciones arbitrarias si se aplica fuera de su dominio de validez. La comparación cuantitativa demuestra que:

• Cuando \(K\) es pequeño y \(c\) es alto, \(Q^\star < Q^{\text{EOQ}}\) es posible.
• En logística humanitaria, donde \(p \gg c\) y la incertidumbre es alta, lo habitual es \(Q^\star > Q^{\text{EOQ}}\).
• Nunca debe usarse el EOQ como referencia estática; su valor comparativo depende de la calibración cuidadosa de \(K\) y de la alineación del modelo con la estructura temporal del problema.

Este análisis refuerza la necesidad de adoptar formulaciones estocásticas rigurosas como la propuesta en las secciones anteriores que derivan \(Q^\star\) de principios de equilibrio marginal bajo incertidumbre, no de analogías mecánicas con modelos deterministas de horizonte infinito.

5.5 Propiedades analíticas del problema unidimensional

Tras formular la función de costo total extendida en la Sección 2.4 y derivar su expresión determinista efectiva en la Sección 2.6.1, es necesario establecer las propiedades analíticas fundamentales del problema de optimización unidimensional resultante. En esta sección, se analiza rigurosamente el problema \(\min_{Q \geq 1} f(Q)\), demostrando la existencia y unicidad del minimizador, así como el comportamiento asintótico de la función objetivo en los extremos del dominio. Estas propiedades son esenciales para justificar la aplicabilidad de las condiciones de optimalidad clásicas y para garantizar la estabilidad de los métodos numéricos empleados en la resolución.

5.5.1 Formulación del problema de optimización: minimización de \(f(Q)\) sujeto a \(Q \geq 1\)

En el contexto del modelo de inventario extendido presentado en la Sección 3.1.2, la determinación del tamaño óptimo de lote se reduce a un problema de optimización escalar en la variable continua \(Q > 0\). Tras aislar los términos que dependen explícitamente de \(Q\) en la función de costo total extendida (3.1), se obtiene la función objetivo efectiva:

\[ f(Q) := \frac{K}{Q} + a Q, \quad Q > 0, \tag{5.9}\]

donde hemos definido
\[ K := D\bigl(S + \beta C\bigr) \quad \text{y} \quad a := \frac{H}{2}. \]

Bajo las hipótesis operativas estándar, demanda media \(D > 0\), costos fijos y unitarios no negativos (\(S \ge 0\), \(C \ge 0\)), penalización por faltante estrictamente positiva (\(\beta > 0\)) y costo de mantenimiento \(H > 0\), se garantiza que \(K > 0\) y \(a > 0\). En consecuencia, \(f(Q)\) está bien definida y es diferenciable en \((0, \infty)\).

En logística humanitaria, la decisión de preposicionar inventario tiene sentido únicamente si se almacena al menos una unidad del bien esencial, lo que impone la restricción natural:

\[ Q \geq 1. \]

Esta cota inferior no es meramente técnica: refleja la discreción física de los bienes humanitarios (no se puede distribuir una fracción arbitrariamente pequeña de un kit de emergencia) y evita singularidades en el análisis asintótico cuando \(Q \to 0^+\), las cuales carecen de interpretación operativa.

En consecuencia, el problema de optimización unidimensional que se analiza en esta sección se formula como:

\[ \min_{Q \in [1, \infty)} f(Q) = \min_{Q \geq 1} \left( \frac{K}{Q} + a Q \right). \tag{5.10}\]

Este problema es un caso particular de minimización de una función real sobre un conjunto cerrado y no acotado. Su análisis requiere establecer: 1. Existencia de un mínimo global (garantizada por la coercividad y continuidad de \(f\)), 2. Unicidad del minimizador (derivada de la estricta convexidad local en el dominio relevante), 3. Comportamiento asintótico en los extremos del dominio (\(Q \to 1^+\) y \(Q \to \infty\)).

Estas propiedades se desarrollan en las subsecciones siguientes, sustentadas en resultados clásicos del análisis no lineal, tal como se presentan en Bazaraa, Sherali, y Shetty (2013); Boyd y Vandenberghe (2004).

5.5.1.1 Ejemplo ilustrativo: formulación explícita del problema

Retomando los parámetros del ejemplo de la Sección 3.1.2:

• \(D = 1000\),
• \(S = 100\),
• \(H = 5\),
• \(C = 10\),
• \(\beta = 50\),

calculamos: \[ K = D(S + \beta C) = 1000(100 + 50 \cdot 10) = 600\,000, \quad a = \frac{H}{2} = 2.5. \]

La función objetivo efectiva es: \[ f(Q) = \frac{600\,000}{Q} + 2.5 Q, \] y el problema de optimización se escribe como:

\[ \min_{Q \geq 1} \left( \frac{600\,000}{Q} + 2.5 Q \right). \tag{5.11}\]

Este problema es bien planteado: la función \(f\) es continua en \([1, \infty)\), tiende a infinito cuando \(Q \to \infty\) y tiene un valor finito (aunque elevado) en \(Q=1\) (\(f(1) = 600\,002.5\)), y posee un único punto crítico en \((1, \infty)\), como se demostrará en las secciones siguientes.

La formulación Ecuación 5.10 constituye la base analítica para el estudio riguroso de las propiedades del modelo de inventario extendido. Al restringir el dominio a \(Q \geq 1\), se garantiza la relevancia práctica de las soluciones, al tiempo que se preserva la trazabilidad matemática necesaria para el análisis de optimalidad y sensibilidad que se desarrollará en las secciones posteriores.

5.5.2 Continuidad y coercividad: garantía de existencia del mínimo

En la Sección 3.5.1 se formuló el problema de optimización unidimensional como:

\[ \min_{Q \geq 1} f(Q) = \min_{Q \geq 1} \left( \frac{K}{Q} + a Q \right), \tag{5.12}\]

donde \(K = D(S + \beta C) > 0\) y \(a = H/2 > 0\). Dado que el dominio \([1, \infty)\) es no acotado, la existencia de un minimizador global no es automática y requiere condiciones analíticas adicionales. En particular, se requiere que la función objetivo sea continua y coerciva en su dominio. A continuación, se establecen formalmente estas propiedades.

Lema (Existencia del mínimo global).
La función \(f : [1, \infty) \to \mathbb{R}\), definida por
\[ f(Q) = \frac{K}{Q} + a Q, \]
con \(K > 0\) y \(a > 0\), es continua y coerciva en \([1, \infty)\). En consecuencia, el problema \(\min_{Q \geq 1} f(Q)\) admite al menos un minimizador global \(Q^* \in [1, \infty)\).

Demostración.
1. Continuidad. La función \(f\) es la suma de \(Q \mapsto K/Q\) y \(Q \mapsto aQ\), ambas continuas en \((0, \infty)\), y por tanto en \([1, \infty)\).
2. Coercividad. Se verifica que \[ \lim_{Q \to \infty} f(Q) = \lim_{Q \to \infty} \left( \frac{K}{Q} + a Q \right) = +\infty, \tag{5.13}\] ya que \(a > 0\). Además, \(f(1) = K + a < \infty\), por lo que \(f\) está acotada inferiormente en \([1, \infty)\).
3. Existencia. El conjunto \([1, \infty)\) es cerrado y no vacío. Dado que \(f\) es continua y coerciva, el teorema de Weierstrass garantiza que \(f\) alcanza su mínimo global en dicho conjunto. ∎

Este lema asegura que, bajo los parámetros operativos estándar de logística humanitaria, el problema bien planteado \(\min_{Q \geq 1} f(Q)\) siempre admite una solución óptima, lo cual justifica el uso posterior de condiciones de optimalidad clásicas y el análisis de sensibilidad.

5.5.2.1 Ejemplo ilustrativo

Considérense los parámetros del ejemplo de la Sección 2.1.2: - \(D = 1000\), - \(S = 100\), - \(H = 5\), - \(C = 10\), - \(\beta = 50\).

Entonces: \[ K = D(S + \beta C) = 1000(100 + 50 \cdot 10) = 600\,000, \quad a = \frac{H}{2} = 2.5. \]

La función objetivo es: \[ f(Q) = \frac{600\,000}{Q} + 2.5 Q, \quad Q \geq 1. \]

• Continuidad: Ambos términos son continuos en \([1, \infty)\).
  
• Coercividad: Por Ecuación 5.13, \(\lim_{Q \to \infty} f(Q) = \infty\).
  
• Valor en el borde: \(f(1) = 600\,002.5\).

Por el Lema (Existencia del mínimo global), existe al menos un \(Q^* \in [1, \infty)\) que minimiza \(f(Q)\). En la Sección 3.5.3 se demostrará que este minimizador es único y se encuentra en el interior del dominio, ya que \(Q^* \approx 489.9 > 1\).

Este ejemplo confirma que, bajo parámetros realistas, el problema satisface las condiciones del lema y, por tanto, es bien planteado en el sentido de Hadamard: admite solución, que además es estable y única (propiedades que se desarrollarán a continuación).

5.5.3 Análisis de convexidad local y unicidad del óptimo

En la Sección 3.5.2 se demostró que el problema de optimización unidimensional

\[ \min_{Q \geq 1} f(Q) = \min_{Q \geq 1} \left( \frac{K}{Q} + a Q \right), \tag{5.14}\]

con \(K = D(S + \beta C) > 0\) y \(a = H/2 > 0\), admite al menos un minimizador global. A continuación, se analiza la estructura local de la función objetivo para establecer la unicidad de dicho minimizador. Esta propiedad es fundamental para garantizar que las condiciones de optimalidad de primer orden identifiquen un único candidato a solución óptima.

5.5.3.1 Convexidad local de \(f(Q)\)

La función \(f : (0, \infty) \to \mathbb{R}\), definida por

\[ f(Q) = \frac{K}{Q} + a Q, \tag{5.15}\]

es infinitamente diferenciable en su dominio. Sus derivadas de primer y segundo orden son:

\[ f'(Q) = -\frac{K}{Q^2} + a, \quad f''(Q) = \frac{2K}{Q^3}. \tag{5.16}\]

Dado que \(K > 0\) y \(Q > 0\), se tiene \(f''(Q) > 0\) para todo \(Q \in (0, \infty)\). Por lo tanto, \(f(Q)\) es estrictamente convexa en todo su dominio.

La estricta convexidad de \(f\) implica que cualquier punto estacionario de \(f\) en \((0, \infty)\) es el único minimizador global de \(f\) en ese intervalo.

5.5.3.2 Unicidad del minimizador en el dominio restringido \([1, \infty)\)

Aunque \(f\) es estrictamente convexa en \((0, \infty)\), el problema de interés está restringido a \(Q \geq 1\). Para analizar la unicidad en este dominio, consideramos dos casos exclusivos:

1. Caso interior: si el punto crítico \(Q^c = \sqrt{K/a}\) satisface \(Q^c > 1\), entonces \(Q^c \in (1, \infty)\) y, por la estricta convexidad, es el único minimizador de \(f\) en \([1, \infty)\).

2. Caso de frontera: si \(Q^c \leq 1\), entonces \(f'(Q) > 0\) para todo \(Q \geq 1\), lo que implica que \(f\) es estrictamente creciente en \([1, \infty)\), y el único minimizador es \(Q^* = 1\).

En ambos casos, el minimizador global en \([1, \infty)\) existe y es único.

Este resultado puede resumirse en la siguiente proposición.

Proposición (Unicidad del minimizador).
La función \(f(Q) = \frac{K}{Q} + a Q\), con \(K > 0\) y \(a > 0\), posee un único minimizador global en el conjunto \([1, \infty)\), dado por: \[ Q^* = \max\left\{ 1,\ \sqrt{\frac{K}{a}} \right\}. \tag{5.17}\]

La unicidad garantiza que el problema Ecuación 5.17 es bien planteado en el sentido de Hadamard y que cualquier método de optimización que converja a un punto estacionario o a la frontera del dominio identificará la solución óptima.

5.5.3.3 Ejemplo ilustrativo

Retomamos los parámetros del ejemplo de la Sección 2.1.2: - \(D = 1000\), - \(S = 100\), - \(H = 5\), - \(C = 10\), - \(\beta = 50\).

Calculamos: \[ K = D(S + \beta C) = 1000(100 + 50 \cdot 10) = 600\,000, \quad a = \frac{H}{2} = 2.5. \]

El punto crítico no restringido es: \[ Q^c = \sqrt{\frac{K}{a}} = \sqrt{\frac{600\,000}{2.5}} = \sqrt{240\,000} \approx 489.90. \]

Dado que \(Q^c \approx 489.90 > 1\), el minimizador en \([1, \infty)\) es: \[ Q^* = Q^c \approx 489.90. \]

Verificación de convexidad local:
La segunda derivada en \(Q^*\) es: \[ f''(Q^*) = \frac{2K}{(Q^*)^3} = \frac{2 \cdot 600\,000}{(489.90)^3} \approx \frac{1\,200\,000}{117\,577\,000} \approx 0.0102 > 0, \] lo que confirma que \(Q^*\) es un mínimo local estricto. Por la convexidad global de \(f\), también es el mínimo global.

Interpretación: En este caso realista, el tamaño óptimo de lote es significativamente mayor que 1, lo que justifica que el mínimo ocurra en el interior del dominio. La unicidad asegura que no existen otras políticas alternativas con el mismo costo óptimo, lo cual es deseable desde una perspectiva de implementación operativa.

Este análisis demuestra que, bajo los supuestos operativos estándar de logística humanitaria, el problema de optimización unidimensional no solo admite solución, sino que dicha solución es única y estable, propiedades esenciales para la robustez del modelo y la confiabilidad de los métodos numéricos empleados en su resolución.

5.5.4 Comportamiento asintótico de \(f(Q)\) cuando \(Q \to 1^+\) y \(Q \to \infty\)

El análisis del comportamiento asintótico de la función objetivo \(f(Q)\) en los extremos del dominio \([1, \infty)\) es fundamental para comprender la estructura global del problema de optimización y para justificar propiedades como coercividad, acotación inferior, y la localización del minimizador en el interior o la frontera del dominio. En esta sección, se estudian rigurosamente los límites de \(f(Q)\) y sus derivadas cuando \(Q\) tiende al borde inferior \(1^+\) y al infinito.

Recordemos que la función objetivo efectiva, definida en la Sección 2.5.1, es:

\[ f(Q) = \frac{K}{Q} + a Q, \quad Q \geq 1, \tag{5.18}\]

con \(K = D(S + \beta C) > 0\) y \(a = H/2 > 0\). Esta función es suave en \((1, \infty)\) y continua en \([1, \infty)\).

5.5.4.1 Comportamiento cuando \(Q \to 1^+\)

Al aproximarse al borde inferior del dominio, la función \(f(Q)\) converge a un valor finito:

\[ \lim_{Q \to 1^+} f(Q) = f(1) = K + a. \tag{5.19}\]

Dado que \(K, a > 0\), este límite es estrictamente positivo y finito. La derivada de primer orden en este punto es:

\[ f'(1) = -\frac{K}{1^2} + a = a - K. \tag{5.20}\]

Este valor determina si la función es creciente o decreciente inmediatamente a la derecha de \(Q = 1\): - Si \(K > a\), entonces \(f'(1) < 0\): la función decrece al salir de la frontera, lo que implica que el minimizador no está en la frontera, sino en el interior \((1, \infty)\). - Si \(K \leq a\), entonces \(f'(1) \geq 0\): la función es no decreciente en \([1, \infty)\), y el mínimo global ocurre en \(Q^* = 1\).

5.5.4.2 Comportamiento cuando \(Q \to \infty\)

Cuando \(Q\) crece sin cota, el comportamiento de \(f(Q)\) está dominado por el término lineal \(a Q\), ya que el término \(K/Q\) tiende a cero:

\[ \lim_{Q \to \infty} f(Q) = \lim_{Q \to \infty} \left( \frac{K}{Q} + a Q \right) = +\infty. \tag{5.21}\]

Este comportamiento garantiza que la función es coerciva en \([1, \infty)\), lo cual, combinado con su continuidad, asegura (junto con el teorema de Weierstrass) la existencia de un mínimo global, como se demostró en la Sección 2.5.2.

La derivada de primer orden también diverge positivamente:

\[ \lim_{Q \to \infty} f'(Q) = \lim_{Q \to \infty} \left( -\frac{K}{Q^2} + a \right) = a > 0, \tag{5.22}\]

lo que confirma que \(f(Q)\) es estrictamente creciente para \(Q\) suficientemente grande.

5.5.4.3 Ejemplo ilustrativo

Retomamos los parámetros del ejemplo de la Sección 2.1.2: - \(D = 1000\), - \(S = 100\), - \(H = 5\), - \(C = 10\), - \(\beta = 50\).

Entonces: \[ K = D(S + \beta C) = 1000(100 + 50 \cdot 10) = 600\,000, \quad a = \frac{H}{2} = 2.5. \]

1. Comportamiento en \(Q \to 1^+\):

• \(f(1) = 600\,000 + 2.5 = 600\,002.5\),
• \(f'(1) = 2.5 - 600\,000 = -599\,997.5 < 0\).

Interpretación: la función decrece abruptamente al salir de \(Q = 1\), lo que confirma que el mínimo no puede estar en la frontera.

2. Comportamiento en \(Q \to \infty\):

• \(\lim_{Q \to \infty} f(Q) = \infty\),
• \(\lim_{Q \to \infty} f'(Q) = 2.5 > 0\).

Interpretación: para valores grandes de \(Q\) (por ejemplo, \(Q > 10\,000\)), el costo de mantenimiento domina, y la función crece linealmente con pendiente \(2.5\).

3. Localización del mínimo:

El punto crítico es \(Q^c = \sqrt{K/a} \approx 489.9\), como se calculó anteriormente. Dado que \(f'(1) < 0\) y \(f'(Q) \to a > 0\), la función decrece hasta \(Q^c\) y luego crece, confirmando que \(Q^c\) es el único mínimo global en \((1, \infty)\).

Este análisis asintótico no solo valida las propiedades de existencia y unicidad, sino que también informa el diseño de algoritmos numéricos: por ejemplo, un método de búsqueda unidimensional puede iniciar en \(Q = 1\) y expandirse hasta que \(f'(Q) > 0\), garantizando que el mínimo ya fue cruzado.

5.6 Condiciones de optimalidad y solución cerrada aproximada

A partir de las propiedades analíticas establecidas en la Sección 2.5, este apartado deriva formalmente las condiciones de optimalidad de primer orden para el problema unidimensional
\[ \min_{Q \geq 1} Z(Q). \]
Se obtiene una solución cerrada aproximada para \(Q^*\), se discute la proyección del óptimo ante la restricción \(Q \geq 1\), y se analiza la sensibilidad de la solución respecto a los parámetros críticos del modelo.

5.6.1 Derivación formal de \(\frac{dZ}{dQ}\)

Consideramos la función de costo total extendida introducida en la Sección 2.1.2:

\[ Z(Q) = \frac{D}{Q} S + \left( \frac{Q}{2} + Z_\alpha \sigma_L \right) H + D C + \frac{D}{Q} \beta C, \tag{5.23}\]

que corresponde a la ecuación (2.1) en este documento. Aunque los parámetros \(Z_\alpha\) y \(\sigma_L\) se derivan de un análisis estocástico (stock de seguridad bajo demanda aleatoria), el modelo de optimización es determinista, conforme al enfoque robusto adoptado en este trabajo (ver Sección 2.1.1). En consecuencia, \(Z(Q)\) se trata como una función real diferenciable en \((0,\infty)\), cuyos parámetros reflejan una parametrización de la incertidumbre, pero no su modelación explícita.

En el análisis que sigue, suponemos que \(\sigma_L\) es constante (es decir, independiente de \(Q\)). Esta hipótesis es común en formulaciones iniciales de inventario bajo incertidumbre y permite preservar cierto grado de tratabilidad analítica, aun cuando se incorporen penalizaciones explícitas por faltante. Bajo esta condición, la función \(Z(Q)\) es diferenciable en \((0, \infty)\) y su derivada puede obtenerse aplicando reglas elementales del cálculo.

Agrupando los términos proporcionales a \(1/Q\), reescribimos la parte no constante de la ecuación (2.1) como:

\[ f(Q) := \frac{D(S + \beta C)}{Q} + \frac{H}{2} Q, \tag{5.24}\]

donde los términos \(Z_\alpha \sigma_L H + D C\) son independientes de \(Q\) y, por tanto, no influyen en la localización del mínimo. Definimos por conveniencia: \[ K := D(S + \beta C) > 0, \qquad a := \frac{H}{2} > 0, \] de modo que \(f(Q) = \frac{K}{Q} + a Q\).

La derivada de \(Z(Q)\) con respecto a \(Q\) coincide con la derivada de \(f(Q)\). Aplicando la regla de derivación para potencias, obtenemos:

\[ \frac{dZ}{dQ}(Q) = -\frac{D(S + \beta C)}{Q^2} + \frac{H}{2}. \tag{5.25}\]

Esta expresión es válida para todo \(Q > 0\) y constituye la derivada primera de la función de costo total extendida bajo las hipótesis establecidas.

5.6.1.1 Ejemplo ilustrativo

Para ilustrar la derivación anterior, consideremos los siguientes parámetros numéricos tomados de la Sección 2.1.2:

• \(D = 1000\),
• \(S = 100\),
• \(H = 5\),
• \(C = 10\),
• \(\beta = 50\),
• \(Z_\alpha \sigma_L H + D C = 10025.99\) (constante, no relevante para la derivada).

Paso 1. Calcular \(K = D(S + \beta C) = 1000(100 + 50 \cdot 10) = 600\,000\).

Paso 2. Calcular \(a = H/2 = 5/2 = 2.5\).

Paso 3. Escribir la función objetivo no constante: \[ f(Q) = \frac{600\,000}{Q} + 2.5 Q. \]

Paso 4. Derivar:

\[ \frac{df}{dQ}(Q) = -\frac{600\,000}{Q^2} + 2.5. \tag{5.26}\]

Este resultado coincide con la fórmula general Ecuación 5.25 y será utilizado en la siguiente sección para determinar el punto crítico \(Q^*\).

5.6.2 Condición de primer orden: \(\frac{dZ}{dQ}(Q^*) = 0\)

En la Sección 2.6.1 se estableció que la función de costo total extendida, bajo el enfoque determinista robusto adoptado en este trabajo, puede expresarse como

\[ Z(Q) = \frac{D(S + \beta C)}{Q} + \frac{H}{2} Q + Z_\alpha \sigma_L H + D C, \tag{5.27}\]

donde (Q > 0) es la variable de decisión continua que representa el tamaño del lote de inventario. Los dos últimos términos de la ecuación anterior son constantes con respecto a \(Q\) y, por tanto, no influyen en la localización del mínimo. Denotando nuevamente

\[ K := D(S + \beta C) > 0, \qquad a := \frac{H}{2} > 0, \]

la parte relevante de la función objetivo se reduce a

\[ f(Q) = \frac{K}{Q} + a Q, \quad Q > 0. \tag{5.28}\]

Como se demostró en la Sección 3.5.3, \(f(Q)\) es estrictamente convexa en \((0, \infty)\). En consecuencia, posee un único minimizador global en cualquier subconjunto convexo de su dominio. En particular, en el dominio restringido \([1, \infty)\), el minimizador existe y es único (Secciones 3.5.2–3.5.3).

Dado que \(f\) es diferenciable en \((0, \infty)\), una condición necesaria y suficiente para que \(Q^* \in (1, \infty)\) sea el minimizador global es que anule la derivada de primer orden:

\[ \frac{dZ}{dQ}(Q^*) = f'(Q^*) = 0. \tag{5.29}\]

Sustituyendo la expresión de la derivada obtenida en la Sección 3.6.1, esta condición se escribe explícitamente como:

\[ -\frac{D(S + \beta C)}{(Q^*)^2} + \frac{H}{2} = 0. \tag{5.30}\]

Esta ecuación constituye la condición de primer orden del problema de optimización unidimensional. Su resolución proporciona el punto crítico que, por la estricta convexidad de \(f\), corresponde al único minimizador global del problema en el interior del dominio.

5.6.2.1 Ejemplo ilustrativo

Retomamos los parámetros numéricos del ejemplo de la Sección 3.1.2:

• \(D = 1000\),
• \(S = 100\),
• \(H = 5\),
• \(C = 10\),
• \(\beta = 50\).

Paso 1. Calcular los parámetros efectivos: \[ K = D(S + \beta C) = 1000(100 + 50 \cdot 10) = 600\,000, \quad a = \frac{H}{2} = 2.5. \]

Paso 2. Escribir la condición de primer orden: \[ -\frac{600\,000}{(Q^*)^2} + 2.5 = 0. \]

Paso 3. Resolver algebraicamente para \(Q^*\): \[ \frac{600\,000}{(Q^*)^2} = 2.5 \quad\Longrightarrow\quad (Q^*)^2 = \frac{600\,000}{2.5} = 240\,000 \quad\Longrightarrow\quad Q^* = \sqrt{240\,000} \approx 489.90. \]

Paso 4. Verificación: La derivada de la función objetivo es \[ \frac{dZ}{dQ}(Q) = -\frac{600\,000}{Q^2} + 2.5. \] Evaluando en \(Q^* \approx 489.90\): \[ \frac{dZ}{dQ}(489.90) \approx -\frac{600\,000}{(489.90)^2} + 2.5 \approx -\frac{600\,000}{240\,000} + 2.5 = -2.5 + 2.5 = 0. \]

Paso 5. Interpretación: El punto \(Q^* \approx 489.90\) es el único valor que equilibra marginalmente el costo decreciente de emitir menos pedidos (incluyendo la penalización esperada por faltante) con el costo creciente de mantener inventario adicional. Dado que \(Q^* > 1\), la solución óptima reside en el interior del dominio, y la restricción \(Q \geq 1\) no es activa.

Este resultado numérico refuerza la conclusión teórica: bajo los supuestos operativos estándar en logística humanitaria, el óptimo del modelo extendido se alcanza en el interior del dominio y puede identificarse de forma analítica mediante la condición de primer orden Ecuación 5.30. La unicidad y existencia garantizadas en la Sección 2.5 aseguran que este punto crítico es, de hecho, el único minimizador global del problema.

5.6.3 Expresión explícita de \(Q^*\) sin restricción de caja

En las secciones anteriores se estableció que, bajo el enfoque determinista robusto adoptado en este trabajo, la función de costo total extendida se reduce a una función escalar de la forma

\[ Z(Q) = \frac{K}{Q} + a Q + \text{constante}, \tag{5.31}\]

donde \(K = D(S + \beta C) > 0\) y \(a = H/2 > 0\). El problema de optimización asociado, en ausencia de la restricción de caja \(Q \geq 1\), se formula como:

\[ \min_{Q > 0} f(Q) = \min_{Q > 0} \left( \frac{K}{Q} + a Q \right). \]

Este problema es un caso clásico de optimización unidimensional con solución cerrada, ampliamente estudiado en la teoría de inventarios y en textos de programación no lineal (ver Boyd y Vandenberghe (2004); Bazaraa, Sherali, y Shetty (2013)).

Dado que \(f(Q)\) es estrictamente convexa en \((0, \infty)\) (pues \(f''(Q) = 2K/Q^3 > 0\) para todo \(Q > 0\)), el único punto estacionario que satisface la condición de primer orden \(f'(Q^*) = 0\) corresponde al mínimo global del problema no restringido.

La derivada de primer orden, obtenida en la Sección 2.6.1, es: \[ f'(Q) = -\frac{K}{Q^2} + a. \]

Igualando a cero y resolviendo para \(Q\), obtenemos: \[ -\frac{K}{(Q^*)^2} + a = 0 \quad\Longrightarrow\quad (Q^*)^2 = \frac{K}{a} \quad\Longrightarrow\quad Q^* = \sqrt{\frac{K}{a}}. \]

Sustituyendo los valores de \(K\) y \(a\), la expresión explícita del tamaño óptimo de lote sin restricción de caja es:

\[ Q^* = \sqrt{\frac{2 D (S + \beta C)}{H}}. \tag{5.32}\]

Esta expresión generaliza la clásica fórmula del modelo EOQ, ya que el término \(S + \beta C\) incorpora explícitamente el costo fijo efectivo por ciclo, que ahora incluye tanto el costo administrativo de emisión de un pedido (\(S\)) como la penalización esperada por faltante (\(\beta C\)). Este ajuste refleja la internalización del riesgo en la estructura de costos, una característica esencial en contextos humanitarios donde la insatisfacción de la demanda tiene consecuencias operativas no despreciables.

La existencia de \(Q^* > 0\) está garantizada por la positividad de todos los parámetros del modelo. Además, la unicidad se deriva directamente de la estricta convexidad de \(f(Q)\), como se demostró en la Sección 2.5.3.

5.6.3.1 Ejemplo ilustrativo

Retomamos los parámetros del ejemplo de la Sección 3.1.2:

• Demanda esperada: \(D = 1000\),
• Costo fijo de pedido: \(S = 100\),
• Costo de mantenimiento: \(H = 5\),
• Costo unitario de adquisición: \(C = 10\),
• Penalización por faltante: \(\beta = 50\).

Paso 1. Calcular el costo fijo efectivo: \[ S + \beta C = 100 + 50 \cdot 10 = 600. \]

Paso 2. Sustituir en la expresión (Ecuación 5.32): \[ Q^* = \sqrt{\frac{2 \cdot 1000 \cdot 600}{5}} = \sqrt{\frac{1\,200\,000}{5}} = \sqrt{240\,000} \approx 489.90. \]

Paso 3. Comparación con el EOQ clásico: El modelo EOQ tradicional (ignorando penalización) daría: \[ Q^{\text{EOQ}} = \sqrt{\frac{2 D S}{H}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1000 \cdot 100}{5}} = \sqrt{40\,000} = 200. \]

Paso 4. Interpretación: El tamaño óptimo en el modelo extendido (\(Q^* \approx 490\)) es más del doble que el del EOQ clásico. Esta diferencia cuantifica el impacto de incorporar la penalización por faltante en la política de inventario: el modelo responde a la aversión al riesgo aumentando el lote de preposicionamiento, lo cual reduce la frecuencia de exposición a escenarios de desabastecimiento.

Este ejemplo confirma que, en ausencia de restricciones de caja, el problema admite una solución cerrada analítica, cuya estructura es directamente interpretable en términos de los parámetros operativos del sistema. Esta propiedad es fundamental para el análisis de sensibilidad y para la validación de algoritmos numéricos en secciones posteriores.

5.6.4 Tratamiento de la restricción \(Q \geq 1\): proyección del óptimo

En las secciones anteriores se obtuvo la expresión explícita del tamaño óptimo de lote en ausencia de restricciones de caja:

\[ Q^{\text{nc}} = \sqrt{\frac{2 D (S + \beta C)}{H}}, \tag{5.33}\]

donde el superíndice “nc” denota “sin caja” (no constraint). Sin embargo, en contextos de logística humanitaria, la decisión de preposicionar inventario solo tiene sentido si se almacena al menos una unidad del bien esencial, lo que impone la restricción natural:

\[ Q \geq 1. \]

Este límite inferior, aunque aparentemente técnico, refleja una discreción física operativa: no es factible ni significativo preposicionar una fracción arbitrariamente pequeña de un kit de emergencia. Matemáticamente, esta restricción convierte el dominio de optimización en el conjunto cerrado \([1, \infty)\), lo que requiere ajustar la solución no restringida mediante una proyección ortogonal sobre dicho conjunto.

Dado que la función objetivo \(f(Q) = \frac{K}{Q} + a Q\) (con \(K = D(S + \beta C) > 0\), \(a = H/2 > 0\)) es estrictamente convexa y diferenciable en \((0, \infty)\), y el conjunto \([1, \infty)\) es convexo y cerrado, el minimizador restringido \(Q^*\) se obtiene mediante la proyección euclidiana de \(Q^{\text{nc}}\) sobre \([1, \infty)\):

\[ Q^* = \Pi_{[1, \infty)}(Q^{\text{nc}}) = \max\left\{ 1,\ Q^{\text{nc}} \right\}. \tag{5.34}\]

Esta fórmula establece dos casos mutuamente excluyentes: 1. Caso interior: si \(Q^{\text{nc}} > 1\), entonces \(Q^* = Q^{\text{nc}}\), y la restricción no es activa. La condición de primer orden \(f'(Q^*) = 0\) se satisface con igualdad. 2. Caso de frontera: si \(Q^{\text{nc}} \leq 1\), entonces \(Q^* = 1\), y la restricción es activa. En este caso, \(f'(Q^*) = f'(1) \geq 0\), lo que confirma que la función es no decreciente en \([1, \infty)\), y el mínimo global ocurre en el borde del dominio.

La proyección (Ecuación 5.34) garantiza que la solución óptima sea factible y única, preservando las propiedades de existencia y unicidad demostradas en la Sección 2.5.

5.6.4.1 Ejemplo ilustrativo

Retomamos los parámetros del ejemplo de la Sección 3.1.2:

• Demanda esperada: \(D = 1000\),
• Costo fijo de pedido: \(S = 100\),
• Costo de mantenimiento: \(H = 5\),
• Costo unitario de adquisición: \(C = 10\),
• Penalización por faltante: \(\beta = 50\).

Paso 1. Calcular el óptimo no restringido: \[ Q^{\text{nc}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1000 \cdot (100 + 50 \cdot 10)}{5}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1000 \cdot 600}{5}} = \sqrt{240\,000} \approx 489.90. \]

Paso 2. Aplicar la proyección: \[ Q^* = \max\{1,\ 489.90\} = 489.90. \]

Interpretación: dado que \(Q^{\text{nc}} \gg 1\), la restricción \(Q \geq 1\) no es activa, y la solución restringida coincide con la no restringida. Este resultado es típico en contextos humanitarios, donde los costos de faltante y la magnitud de la demanda inducen niveles de inventario significativamente mayores que una unidad.

Paso 3. Escenario hipotético con demanda extremadamente baja: Supongamos ahora \(D = 0.1\), manteniendo los demás parámetros. Entonces: \[ Q^{\text{nc}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.1 \cdot 600}{5}} = \sqrt{24} \approx 4.90 > 1 \quad \Rightarrow \quad Q^* = 4.90. \] Incluso con demanda muy baja, el óptimo sigue siendo mayor que 1.

Paso 4. Escenario límite: Para que \(Q^{\text{nc}} \leq 1\), se requiere: \[ \sqrt{\frac{2 D (S + \beta C)}{H}} \leq 1 \quad \Longrightarrow \quad D \leq \frac{H}{2(S + \beta C)} = \frac{5}{2 \cdot 600} \approx 0.00417. \] Solo si la demanda esperada es inferior a 0.0042 unidades, el óptimo restringido sería \(Q^* = 1\). En la práctica humanitaria, este caso es irreal, ya que la demanda mínima razonable supera con creces una unidad.

Este análisis confirma que, bajo parámetros operativos realistas, la restricción \(Q \geq 1\) actúa como una garantía de factibilidad teórica más que como una limitación activa en la solución. No obstante, su inclusión es esencial para el rigor matemático del modelo, ya que asegura que el dominio de optimización sea cerrado y que el problema esté bien planteado en el sentido de Hadamard.

La expresión (Ecuación 5.34) constituye la solución cerrada aproximada del problema restringido, y será utilizada en la siguiente sección para analizar la sensibilidad del óptimo respecto a los parámetros del sistema.

5.6.5 Sensibilidad del óptimo respecto a \(\beta\), \(Z_\alpha\), \(H\), y \(S\)

En las secciones anteriores se obtuvo la expresión cerrada del tamaño óptimo de lote bajo la restricción \(Q \geq 1\):

\[ Q^* = \max\left\{ 1,\ \sqrt{\frac{2 D (S + \beta C)}{H}} \right\}. \tag{5.35}\]

Esta fórmula explicita la dependencia funcional del óptimo respecto a cuatro parámetros críticos del modelo:
- \(\beta > 0\): coeficiente de penalización por faltante,
- \(S > 0\): costo fijo de pedido,
- \(H > 0\): costo unitario de mantenimiento de inventario,
- y, de forma indirecta, \(Z_\alpha \sigma_L\): parámetro que determina el inventario de seguridad, aunque no influye en \(Q^*\) cuando \(\sigma_L\) es constante (pues no aparece en la derivada de primer orden).

El análisis de sensibilidad consiste en estudiar cómo varía \(Q^*\) ante perturbaciones en estos parámetros. Dado que \(Q^*\) es una función compuesta de funciones elementales, su diferenciabilidad y monotonía pueden analizarse rigurosamente mediante cálculo diferencial.

5.6.5.1 Derivadas parciales y elasticidades

Supongamos que \(Q^{\text{nc}} = \sqrt{2 D (S + \beta C)/H} > 1\), de modo que \(Q^* = Q^{\text{nc}}\) (caso interior, válido en contextos humanitarios realistas). Definimos:

\[ Q^*(\beta, S, H) = \left( \frac{2 D}{H} \right)^{1/2} (S + \beta C)^{1/2}. \]

Las derivadas parciales de primer orden son:

\[ \frac{\partial Q^*}{\partial \beta} = \frac{1}{2} \left( \frac{2 D}{H} \right)^{1/2} \frac{C}{(S + \beta C)^{1/2}} = \frac{C D}{H Q^*} > 0, \tag{5.36}\]

\[ \frac{\partial Q^*}{\partial S} = \frac{1}{2} \left( \frac{2 D}{H} \right)^{1/2} \frac{1}{(S + \beta C)^{1/2}} = \frac{D}{H Q^*} > 0, \tag{5.37}\]

\[ \frac{\partial Q^*}{\partial H} = -\frac{1}{2} \left( \frac{2 D (S + \beta C)}{H^3} \right)^{1/2} = -\frac{Q^*}{2 H} < 0. \tag{5.38}\]

Estas expresiones confirman las siguientes propiedades:

1. Monotonía creciente en \(\beta\) y \(S\): un aumento en la penalización por faltante o en el costo fijo de pedido induce al modelo a incrementar el tamaño del lote, ya que se vuelve más costoso emitir pedidos frecuentes o sufrir faltantes.
2. Monotonía decreciente en \(H\): un mayor costo de mantenimiento desincentiva el almacenamiento, reduciendo el lote óptimo.
3. Independencia de \(Z_\alpha\): en el modelo presentado, el inventario de seguridad \(Z_\alpha \sigma_L\) es un término aditivo constante en la función de costo, y por tanto no afecta la localización del mínimo. Solo influye en el valor óptimo del costo total, no en la decisión de inventario \(Q^*\). Esta propiedad depende críticamente del supuesto de que \(\sigma_L\) es independiente de \(Q\).

5.6.5.2 Elasticidades de sensibilidad

Para cuantificar el impacto relativo, definimos las elasticidades de \(Q^*\) respecto a cada parámetro:

\[ \varepsilon_{Q^*, \beta} = \frac{\partial Q^*}{\partial \beta} \cdot \frac{\beta}{Q^*} = \frac{\beta C}{2(S + \beta C)} \in \left(0, \frac{1}{2}\right), \]

\[ \varepsilon_{Q^*, S} = \frac{\partial Q^*}{\partial S} \cdot \frac{S}{Q^*} = \frac{S}{2(S + \beta C)} \in \left(0, \frac{1}{2}\right), \]

\[ \varepsilon_{Q^*, H} = \frac{\partial Q^*}{\partial H} \cdot \frac{H}{Q^*} = -\frac{1}{2}. \]

Estas elasticidades son constantes en signo, pero dependen del balance relativo entre \(S\) y \(\beta C\). En contextos humanitarios, donde \(\beta C \gg S\), se cumple \(\varepsilon_{Q^*, \beta} \to 1/2\) y \(\varepsilon_{Q^*, S} \to 0\), lo que indica que el óptimo es altamente sensible a la penalización por faltante e insensible al costo fijo de pedido.

5.6.5.3 Ejemplo ilustrativo paso a paso

Retomamos los parámetros del ejemplo de la Sección 3.1.2:

• \(D = 1000\),
• \(S = 100\),
• \(H = 5\),
• \(C = 10\),
• \(\beta = 50\).

Paso 1. Óptimo base: \[ Q^* = \sqrt{\frac{2 \cdot 1000 \cdot (100 + 50 \cdot 10)}{5}} = \sqrt{240\,000} \approx 489.90. \]

Paso 2. Sensibilidad respecto a \(\beta\):
Aumentamos \(\beta\) en un 10 %: \(\beta' = 55\).
Nuevo óptimo: \[ Q'^* = \sqrt{\frac{2 \cdot 1000 \cdot (100 + 55 \cdot 10)}{5}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1000 \cdot 650}{5}} = \sqrt{260\,000} \approx 509.90. \] Variación relativa: \(\frac{509.90 - 489.90}{489.90} \approx 4.08\%\).
Elasticidad empírica: \(\frac{4.08\%}{10\%} = 0.408\), cercana al valor teórico: \[ \varepsilon_{Q^*, \beta} = \frac{50 \cdot 10}{2(100 + 500)} = \frac{500}{1200} \approx 0.417. \]

Paso 3. Sensibilidad respecto a \(H\):
Aumentamos \(H\) en un 20 %: \(H' = 6\).
Nuevo óptimo: \[ Q'^* = \sqrt{\frac{2 \cdot 1000 \cdot 600}{6}} = \sqrt{200\,000} \approx 447.21. \] Variación relativa: \(\frac{447.21 - 489.90}{489.90} \approx -8.71\%\).
Elasticidad empírica: \(\frac{-8.71\%}{20\%} = -0.436\), cercana al valor teórico \(-0.5\) (la discrepancia se debe a que la elasticidad es local, y el cambio es finito).

Paso 4. Independencia de \(Z_\alpha\):
Si cambiamos \(Z_\alpha\) de 1.645 a 2.33 (pasando de 95 % a 99 % de nivel de servicio), el término \(Z_\alpha \sigma_L H\) en \(Z(Q)\) cambia, pero la derivada \(\frac{dZ}{dQ}\) no se ve afectada, por lo que \(Q^*\) permanece en 489.90.

Interpretación: En logística humanitaria, donde los costos de faltante son dominantes, el tamaño óptimo de inventario es más sensible a la penalización \(\beta\) que a los costos operativos tradicionales. Esto implica que la calibración precisa de \(\beta\) es crítica para la calidad de la solución, mientras que errores en \(S\) o \(H\) tienen impacto relativamente menor. Por otro lado, el diseño del nivel de servicio (vía \(Z_\alpha\)) afecta el costo total, pero no la política de inventario, lo que permite una separación clara entre decisiones de magnitud (\(Q^*\)) y decisiones de robustez (inventario de seguridad).

Este análisis de sensibilidad no solo valida la robustez del modelo, sino que también proporciona directrices operativas para la recolección de datos y la toma de decisiones: es prioritario estimar con precisión \(\beta\) y \(D\), mientras que \(S\) y \(H\) pueden aproximarse con mayor tolerancia. Además, confirma que el parámetro \(Z_\alpha\) puede ajustarse a posteriori para satisfacer requisitos de nivel de servicio sin alterar la solución óptima de \(Q^*\), siempre que \(\sigma_L\) sea independiente de \(Q\).

En conjunto, las secciones 3.6.1–3.6.5 establecen que, bajo el enfoque determinista robusto adoptado en este trabajo, el problema de optimización unidimensional \(\min_{Q \geq 1} Z(Q)\) admite una solución cerrada explícita, dada por la proyección \(Q^* = \max\{1, \sqrt{2D(S + \beta C)/H}\}\). Esta solución es única, estable y sensible a los parámetros críticos del modelo, especialmente a la penalización por faltante \(\beta\). El análisis de sensibilidad confirma que, en contextos humanitarios, el tamaño óptimo de lote está dominado por la aversión al riesgo, lo que justifica el abandono del modelo EOQ clásico en favor de formulaciones que internalicen explícitamente la incertidumbre mediante parámetros de penalización y servicio. Estos resultados teóricos sientan las bases para la integración del componente de inventario en el modelo híbrido de localización-inventario.

5.7 Conclusiones del capítulo

Este capítulo ha presentado un modelo matemático determinista robusto para el problema integrado de localización e inventario en contextos humanitarios, caracterizado por la interacción entre decisiones binarias (ubicación de almacenes) y continuas (niveles de inventario y asignación de flujos). La formulación incorpora de forma paramétrica la incertidumbre en la demanda mediante un stock de seguridad y una penalización explícita por faltantes, lo que introduce no linealidad y rompe la convexidad global del problema, aun cuando la función de costo sea convexa condicionalmente para configuraciones fijas de infraestructura. Esta estructura híbrida, que combina no convexidad combinatoria, no linealidad inducida por la incertidumbre y una formulación de riesgo implícita a través de la penalización, constituye una contribución teórica que extiende los modelos clásicos de EOQ y localización, haciéndolos pertinentes para entornos donde la insatisfacción de la demanda tiene consecuencias éticas y operativas críticas. Al establecer propiedades analíticas fundamentales (existencia, unicidad y sensibilidad del óptimo en el subproblema de inventario) y al caracterizar formalmente el espacio factible mixto, el capítulo sienta las bases para el desarrollo de métodos de solución especializados.

Artzner, Philippe, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber, y David Heath. 1999. «Coherent Measures of Risk». Mathematical Finance 9 (3): 203-28. https://doi.org/10.1111/1467-9965.00068.

Balcik, Burcu, y Benita M. Beamon. 2008. «Facility location in humanitarian relief». Journal of the Operational Research Society 59 (8): 1005-16. https://doi.org/10.1080/13675560701561789.

Bazaraa, Mokhtar S., Hanif D. Sherali, y C. M. Shetty. 2013. Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. 3.ª ed. Wiley. https://doi.org/10.1002/9781118762371.

Bertsekas, Dimitri P. 1999. Nonlinear Programming. Athena Scientific.

Bertsimas, Dimitris, y Aurélie Thiele. 2006. «A robust optimization approach to inventory theory». Operations Research 54 (1): 150-68. https://doi.org/10.1287/opre.1050.0238.

Boyd, Stephen, y Lieven Vandenberghe. 2004. Convex Optimization. Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9780511804441.

Caunhye, A. M., X. Nie, y S. Pokharel. 2012. «Optimization models in emergency logistics: A literature review». Socio-Economic Planning Sciences 46 (1): 4-13. https://doi.org/10.1016/j.seps.2011.04.004.

Daskin, Mark S. 2013. Network and Discrete Location: Models, Algorithms, and Applications. 2nd ed. Hoboken, NJ: Wiley. https://doi.org/10.1002/9781118537015.

Grossmann, Ignacio E. 2002. «Review of nonlinear mixed-integer and disjunctive programming techniques». Computers & Chemical Engineering 26 (9): 1261-82. https://doi.org/10.1023/A:1021039126272.

Hadley, G., y T. M. Whitin. 1963. Analysis of Inventory Systems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.

Lewis, Adrian S. 2003. «The Mathematics of Eigenvalue Optimization». Acta Numerica 12: 1-58. https://doi.org/10.1017/S0962492902000045.

Lewis, Adrian S., y Michael L. Overton. 2013. «Nonsmooth optimization via quasi-Newton methods». Mathematical Programming 141 (1–2): 135-63. https://doi.org/10.1007/s10107-012-0514-2.

Porteus, E. L. 2002. Foundations of Stochastic Inventory Theory. Business/Marketing. Stanford University Press. https://books.google.com.mx/books?id=ogsrj7PnyHIC.

Shapiro, Alexander, Darinka Dentcheva, y Andrzej Ruszczyński. 2021. Lectures on Stochastic Programming: Modeling and Theory. 2nd ed. SIAM. https://doi.org/10.1137/1.9781611976595.

Snyder, Lawrence V. 2006. «Facility location under uncertainty: A review». IIE Transactions 38 (7): 537-54. https://doi.org/10.1080/07408170500216480.

Wolsey, L. A. 1998. Integer Programming. Wiley Series en Discrete Mathematics y Optimization. Wiley. https://books.google.com.mx/books?id=x7RvQgAACAAJ.

Zipkin, Paul H. 2000. Foundations of Inventory Management. McGraw-Hill.